Suprema von Mengen, Existenz und Eindeutigkeit der Quadratwurzel

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GandalfX86 Auf diesen Beitrag antworten »
Suprema von Mengen, Existenz und Eindeutigkeit der Quadratwurzel
Mein neues Übungsblatt ist da, und ich kann mal wieder keine Einzige Aufgabe lösen, obwohl ich den Inhalt der Vorlesungen (zu großen Teilen zumindest) mitlerweile durchaus verstehe.

Also hier die 1. Aufgabe:
Zeigen Sie, dass es genau eine positive, reelle Zahl gibt mit

Weiß jemand, wie ich an diese Aufgabe herangehen kann? Wie kann ich da ansetzen?



2.Aufgabe

a) Man bestimme Infemum, Supremum, Maximum und Minimum der Menge , sofern sie existieren.

b) Man gebe für die Menge M eine möglichst einfache Beschreibung an; finden Sie gegebenenfalls inf M; supM; maxM und minM.


Dann gehören da noch zwei weitere Aufgaben zu, aber da habe ich wenigstens eine Idee, wie ich anfangen soll, und werde die morgen einmal selbst versuchen.

Kann mir vielleicht jemand jeweils einen Tip/Ansatz oder etwas ähnliches für die genannten Aufgaben liefern? Ich weiß absolut nicht wie ich anfangen soll.

Danke schonmal im vorraus!

edit: Titel geändert, bitte wähle einen aussagekräftigen Titel! (MSS)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Bei 1. müsste man ein wenig über dein Vorwissen wissen. Supremum hattet ihr anscheinend schon. Dann betrachte doch mal die Menge

.

Zeige, dass sie ein Supremum besitzt und dass dieses Supremum die Gleichung erfüllt. Die Eindeutigkeit ist dahingegen trivial.
2. a) Forme die Ungleichung einfach um, ebenso bei b).

Gruß MSS
GandalfX86 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank erstmal.

Zu Aufagabe 1: Wie weist man denn überhaupt nach, dass es ein Supremum einer Menge gibt? Dafür fehlt mir nämlich auch der Ansatz.

Zu Aufgabe 2: Umformen, heißt dass in diesem Fall, dass ich die Beträge auflösen soll? Also mit ?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Menge M ist beschränkt. Und eine beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt immer ein Supremum. Siehe Wikipedia-Eintrag, Abschnitt "Existenz des Supremums für beschränkte Teilmengen der reellen Zahlen".
GandalfX86 Auf diesen Beitrag antworten »

Oder kann ich Aufgabe 1 einfach mit einer Intervallschachtelung beweisen? Wenn man das ein paar mal durchgeführt hat, sieht man ja eigentlich, dass y für y>0 auf genau eine Zahl zuläuft:




usw.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von GandalfX86
Oder kann ich Aufgabe 1 einfach mit einer Intervallschachtelung beweisen?

hmmm, nein intervallschachtelung ist nur ein verfahren, mit dem du das ganze näherungsweise berechnen ("approximieren") kannst
als beweisverfahren eignet es sich nicht, da du nur mit endlich vielen schritten argumentieren kannst, diese berechnung aber unendlich viele verschachtelungen bräuchte
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@LOED
Das stimmt nicht. Man kann Intervallschachtelung sehr wohl für Beweis benutzen, unter anderem auch für solche!
Allerdings ist es so, wie gandalf es jetzt gemacht hat, natürlich nicht erfolgsversprechend.

@Arthur
Zitat:
Original von Arthur Dent
Deine Menge M ist beschränkt. Und eine beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt immer ein Supremum.

..., wenn sie nichtleer ist. Augenzwinkern

Gruß MSS
GandalfX86 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe in meinen Vorlesungsmischriften nocheinmal nachgesehen, und da haben wir einen Satz aufgeschrieben, in dem steht, dass eine Intervallschachtelung als eindeutig betrachtet werden kann. Schaut mal hier in dem Text von unserem Professor auf Seite 16.

Was müsste ich denn anders machen, damit das als Beweis gilt?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du müsstest genau angeben, wie die Intervallschachtelung funktionieren soll. Das macht man, indem man die Intervallschachtelung induktiv definiert. Du darfst dabei nicht mit Zahlen arbeiten, sondern musst das etwas allgemeiner machen. Das wichtigste ist, dass du zeigst, dass deine Schachtelung auch aller Voraussetzung erfüllt, die eine Intervallschachtelung haben muss.

Gruß MSS
GandalfX86 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich war heute auch mal in der Sprechstunde, von dem Assisten, der die Übungen mit uns macht. Und der meinte, dass wir Aufgabe 1 tatsächlich mit einer Intervallschachtelung lösen sollen.

Zu Aufgabe 2 habe ich mitlerweile soviel:

a) Wenn ich die Menge mit einer Fallunterscheidung ( und ) vereinfache komme ich auf ein Intervall . Also ist das Minimum und das Maximum .
Die Aufgabe müsste somit gelöst sein.

b) Hier bin ich mit einer doppelten Fallunterscheidung (erst bzw ) und dann um den äußeren Betrag wegzubekommen nochmals eine Fallunterscheidung). So komme ich zum Schluss zu diesen beiden Ergebnissen: 0 < x < 2 und 4 < x < 6
Meine Frage ist nun, ob ich 0 und 4 (oder auch nur 0) als Infimum bezeichnen kann bzw 2 und 6 (oder auch nur 6) als Supremum bezeichnen kann (Minimum/Maximum gibt es ja sowieso nicht). Die Menge hat ja eine schließlich eine Lücke.
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wüsste für die 1 nen hübschen Widerspruchsbeweis mit Einsatz der 3. binomischen Formel.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Fallunterscheidung hätte ich zwar nicht gemacht, aber solange es richtig ist, ist das ok.
a) ist korrekt. Bei b) ist richtig, das andere falsch.
Und zur anderen Frage: Ja, ist das Supremum. Wie kommst du darauf, dass auch noch eines wäre?
Seit wann kann eine Menge zwei Suprema haben? Überleg dir mithilfe der Definition des Supremums auch noch einmal, warum kein Supremum sein kann!

Gruß MSS
GandalfX86 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab die Ungleichung gerade auch mal von meinem CAS-Programm berechnen lassen, aber das sagt genau das gleiche, wenn ich die Ungleichung nach x auflösen lasse: "4 < x < 6 oder 0 < x < 2"
Du kannst ja zur Probe einfach einmal 1 einsetzen: dann steht da nachher 0<1, was ja eine wahre Aussage ist.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast Recht, ich hatte einen Übertragungsfehler.
Und, was hast du dir zu dem Supremum nun überlegt? Augenzwinkern

Gruß MSS
GandalfX86 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mir die Definition vom Supremum nocheinmal durchgelesen, und da steht ja, dass es ja gerade kein Element der Menge geben darf, dass größer ist wie das Supremum. Mehrere Suprema ergeben dann ja garkeinen Sinn.

Aber dann noch vielen Dank an alle die mir bei diesen Aufgaben geholfen haben. Ihr glaubt nicht wie froh ich bin, dass ich wenigstens dass schonmal gelöst bekommen habe (wenn auch nicht von ganz alleine). Ich muss allerdings noch viel für Mathe tun, weil nächste Woche Samstag schon eine Anwesenheitsübung ist - die für mich zwar nicht Pflicht ist - aber trotzdem will ich den Schein bestehen, (um mal wenigstens ein Erfolgserlebniss mit HöMa zu haben und) damit ich sehe, ob ich für Mathe gut genug gelernt habe.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von GandalfX86
Ich hab mir die Definition vom Supremum nocheinmal durchgelesen, und da steht ja, dass es ja gerade kein Element der Menge geben darf, dass größer ist wie das Supremum. Mehrere Suprema ergeben dann ja garkeinen Sinn.

Genau. Freude
Viel Erfolg dann bei der Übung! Augenzwinkern

Gruß MSS
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