"Satz": Die natürlichen Zahlen besitzen ein maximales Element |
| 15.11.2005, 23:19 | MatheGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| "Satz": Die natürlichen Zahlen besitzen ein maximales Element Wir bewegen uns in der Menge der natürlichen Zahlen und mit der üblichen Halbordnung <= (die auch eine Wohlordnung ist.) Außerdem die Operation +, die zwei natürliche Zahlen auf eine größere abbildet. allgemein gilt: zu dieser Summe können wir noch eine Zahl hinzuzählen, zu dieser Summe dann wieder, u.s.w. so können wir die Zahlen aus jeder Teilmenge T von den natürlichen Zahlen miteinander addieren. Die Reihenfolge ist unwichtig wegen der Assoziativität und Kommutativität). (1) gilt für jede dieser Additionen dann muss aber gelten: Die Teilmengen von N sind äquivalent zu den Teilketten bezüglich der Halbordnung. s ist jeweils die obere Schranke. Damit sind die Bedingungen für das Lemma von Zorn erfüllt. Dann folgt: N besitzt ein maximales Element. Wo ist der Fehler? Dass ich nicht einfach u.a. auch unendliche viele Zahlen addieren darf? mfG Felix |
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| 15.11.2005, 23:24 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig erkannt: Es gibt keine unendlichen Summen. (Auch Reihen sind nur Grenzwerte endlicher Summen!) |
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| 16.11.2005, 14:12 | MatheGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenns an den Summen liegt, kann ich das auch anders formulieren: die natürlichen Zahlen haben wir in der Vorlesung als jeweils den mengentheoretischen Nachfolger der vorhergehenden definiert: d.h. (mit u als Symbol für Vereinigungsmenge) 0 := {} 1 := 0 u {0} 2 := 1 u {1} = {0,1} 3 := 2 u {2} = {0,1,2} ... N={0, 1, 2, 3, ...} so ist dann die Vereinigung von zwei natürlichen zahlen a und b mit a <= b a u b = {0, 1, ..., a - 1} u {0, 1, ..., a, ..., b - 1} = {0, 1, ..., b} = b also die größere Zahl jetzt kann ich um die obere Schranke einer Teilkette zu finden auch die Vereinigungsmenge aller Elemente der Teilkette bilden. Die Vereinigungsmenge von unendlich vielen Mengen darf ich aber sicherlich bilden. Das wird zum Beispiel auch im Beweis, dass jeder Ring ein maximales Ideal hat verwendet. (s. http://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Zorn). so hat dann auch wieder jede Teilkette eine obere Schranke und ich kann das Lemma von Zorn anwenden. jetzt wo ich das so schreib, ist mir auch wieder was aufgefallen. die Vereinigung aller Zahlen aus N ist nach obiger Definition N. Die Teilkette besitzt daher keine obere Schranke, weil N nicht in N enthalten ist. passt das? |
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| 16.11.2005, 16:00 | IchDerRobot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, du hast recht: Die Vereinigung unendlich vieler verschiedener natürlicher Zahlen ist gerade die Menge N, welche keine natürliche Zahl mehr ist. In der Menge wäre N eine obere Schranke, hier sind die Voraussetzungen von Zorns Lemma erfüllt und N ist das (einzige) maximale Element in dieser Menge. Robot |
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| 16.11.2005, 20:21 | MatheGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke für eure antworten kann mir schön langsam schon was vorstellen unter dem Lemma von Zorn Was ich immer noch nicht ganz verstehe wäre: Wenn die Summe von zwei natürlichen Zahlen. Immer eine natürliche Zahl ist. Wieso ist dann nicht die Summe von unendlich vielen wieder eine natürliche Zahl? Bei jedem weiteren Schritt wird wieder eine natürliche Zahl gebildet. Dann müssten nach vollständiger Induktion alles natürliche Zahlen sein? |
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| 17.11.2005, 17:15 | IchDerRobot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vollständige Induktion liefert die eine Aussage für jede endliche Anzahl von Summanden, aber nicht für eine unendliche Anzahl - das gibt dieses Beweisverfahren einfach nicht her. Robot |
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| 17.11.2005, 20:22 | MatheGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke cool, jetzt macht das auch irgendwo sinn |
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