Sylowsätze

15.11.2005, 22:21

papahuhn

Sylowsätze

Hallo zusammen,
ich habe ziemliche Schwierigkeiten mit den Sylowsätzen. Eine der Aufgaben ist z.b. folgende:
Bestimme $\begin{eqnarray*} n := |Syl_7(S_{11})| \end{eqnarray*}$ . Aus den Sätzen folgt, dass $\begin{eqnarray*} (7 \big | n-1) \wedge (n \big| \frac {11!}{7} = 5702400) \end{eqnarray*}$ . Da gibts doch etliche Lösungen zu.

Wäre für nen Denkanstoß dankbar.

16.11.2005, 10:16

IchDerRobot

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Hallo papahuhn,

ja, diese Rechnung lässt einem noch 48 mögliche Werte zwischen 1 und 21120. Augenzwinkern

Da die 7 nur einmal in 11! auftritt, sind die 7-Sylowgruppen der S_11 gerade die Untergruppen der Ordnung 7. Vielleicht gelingt es dir ja, die Anzahl der Elemente der Ordnung 7 zu bestimmen. Das sollte in der S_11 recht einfach durch ein Abzählargument gehen, denn diese Elemente sind genau die 7-Zyklen (warum?).

Robot

16.11.2005, 11:09

papahuhn

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Zitat:

Vielleicht gelingt es dir ja, die Anzahl der Elemente der Ordnung 7 zu bestimmen. Das sollte in der S_11 recht einfach durch ein Abzählargument gehen, denn diese Elemente sind genau die 7-Zyklen (warum?).

Hmm stimmt, das Erzeugnis eines 7er-Zykels ergibt eine Untergruppe der Ordnung 7, da 7 prim ist. Wenn eine solche Untergruppe aber u.a. von einem 5er-Zykel erzeugt wird, müsste es eine Untergruppe der Ordnung 5 geben. 5 teilt aber nicht 7, also geht das nicht. Mal gucken, ob ich die 7er-Untergruppen abgezählt bekomme.
Edit: Ich habe $\begin{eqnarray*} \binom{11}{7}6! \end{eqnarray*}$ als Funktion unterscheidbare 7er-Zykel. Es gibt zu jeder 7er-Untergruppe 6 7er-Zykel, die die Untergruppe erzeugen. Also wären das $\begin{eqnarray*} \binom{11}{7}5! = 39600 \end{eqnarray*}$ Untergruppen der Ordnung 7. Diese Anzahl erfüllt die zwei Bedingungen von oben, fällt aber aus dem Rahmen den du angegeben hast. Was ist da faul?

Zitat:

Da die 7 nur einmal in 11! auftritt, sind die 7-Sylowgruppen der S_11 gerade die Untergruppen der Ordnung 7.

.
Ja, so sind die Sylow-Gruppen doch definiert.(?) Kannst du genauer erklären, was du damit meinst?
Edit: Ok jetzt verstehe ich, was du mir sagen wolltest. smile

Im Endeffekt (wenn ich oben richtig gerechnet habe) hatte die Aufgabe doch nix mit den Sylowsätzen zu tun, sondern nur mit der Definition einer Sylow-Untergruppe. verwirrt

16.11.2005, 15:34

IchDerRobot

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Hallo,

ich hatte mein Programm, welches mir die möglichen Werte lieferte, falsch bedient, es hatte die Werte unsortiert ausgegeben und 21120 war einfach der letzte in der Liste. Der größte Kandidat ist 1.425.600 und die 39600 stehen in der Liste. smile

Deine Rechnungen decken sich mit meinen, ich gehe auch von 39600 7-Sylowuntergruppen der S_11 aus.

Ich meinte (wie du dir sicher inzwischen denkst) anhand eines anderen Beispiels: Die 2-Sylowuntergruppen der S_11 sind nicht die Untergruppen der Ordnung 2, sondern die der Ordnung 2^8.

Die Sylowsätze nützten die bei dieser Aufgabe tatsächlich nichts.

Robot

16.11.2005, 16:19

papahuhn

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Ok, das freut mich schonmal. Wenn du erlaubst, hätte ich noch eine Frage die hoffentlich etwas mehr mit den Sylowsätzen zu tun hat.
"Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Gruppe mit $\begin{eqnarray*} |G| = 132 \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine normale Sylowgruppe $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ besitzt."

"Normal" soll wohl bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ein Normalteiler von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist, was äquivalent zu $\begin{eqnarray*} N_G(S) = G \end{eqnarray*}$ ist. Mit anderen Worten: $\begin{eqnarray*} gSg^{-1} = S\ \forall g \in G \end{eqnarray*}$ .

Da nach Sylow alle $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -SylowUntergruppen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ untereinander konjugiert sind, würde es ausreichen, dass $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ die einzige $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -SylowUntergruppe für eine gewisse Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist.
Es gilt $\begin{eqnarray*} 132 = 2^2 * 3 * 11 \end{eqnarray*}$ , also kommt $\begin{eqnarray*} p \in \{2, 3, 11\} \end{eqnarray*}$ in Frage. Leider kann ich zu keinem dieser $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ nachweisen, dass es nur eine SylowUntergruppe dazu gibt. Ich kann ja nichtmal davon ausgehen, dass $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ aus Zykeln besteht, da wir den Satz von Cayley gar nicht eingeführt haben.

Edit: Hat sich erledigt. Danke Dir!

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