Magisches Quadrat

16.11.2005, 15:26

Bastiii

Magisches Quadrat

Hallo,

Kann mir vielleicht jemand hierbei helfen

http://foto.arcor-online.net/palb/alben/04/4062904/1024_3237613530643465.jpg

Das sit ja ein magisches Quadrat, aber wie soll ich alle Matrizen ausrechnen ? das sind ja hunderte ?! verstehe nicht so ganz was ich genau tun soll :\

Bitte um Hilfe.

16.11.2005, 16:09

JochenX

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was soll denn das mit dem "aus der matrix ergeben"?
ist das vielleicht einfach schlecht gesagt für: finden sie alle matrizen dieser form mit....

wenn ja, gibts sicher nicht hunderte lösungen, da es zwar 6!=720 belegungen, von denen aber höchstens ganz wenige passend sind
z.b. muss in der unteren zeile die summe beider sterne 14 sein, da bleibt schon nur noch 6+8

16.11.2005, 16:17

Steve_FL

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Nein, es gibt nur ein paar wenige.
(Wobei du jede davon an der mittleren Spalte spiegeln kannst, also sinds nur halb so "viel" Augenzwinkern

)

Denk dir doch mal, dass oben links die Zahl X steht und stell mal ein paar Gleichungen auf (die müssten sich alle selbst in Wohlgefallen nach X auflösen...)

Das Feld unten rechts ist dann: 15 - (5+x) = ur (für unten rechts)
unten links (ul) könntest du dann als 15 - (1 + ur) = ul schreiben und natürlich wieder durch x ausdrücken. So kannst du auch oben rechts ausdrücken. Und analog die beiden in der Mitte und dann musst du das alles nach X auflösen...

ich schreib dir nicht alle Rechnungen auf, aber ich glaube, es gibt nur eine Lösung (wenn man die Spiegelung nicht auch zählt), vor allem wenn jede Zahl nur einmal vorkommen darf. Wahrscheinlich ist es so gemeint, obwohl ich das nicht herauslesen konnte.

€dit: und LOED war wohl etwas schneller Augenzwinkern

Mist

16.11.2005, 16:30

Leopold

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@ Bastii

Was weißt du über magische Quadrate?
Ist dir z.B. bekannt, daß die reellen magischen Quadrate einen dreidimensionalen Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathcal{M} \end{eqnarray*}$ bilden? Dann brauchst du nur drei linear unabhängige magische Quadrate, z.B.

$\begin{eqnarray*} U = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \ \ V = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \ \ W = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und diese müssen $\begin{eqnarray*} \mathcal{M} \end{eqnarray*}$ erzeugen. Auch deine Matrix

$\begin{eqnarray*} A = U = \begin{pmatrix} * & 9 & * \\ * & 5 & * \\ * & 1 & * \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

muß daher in der Form

$\begin{eqnarray*} \text{(*)} \ \ \ A = \lambda U + \mu V + \nu W \end{eqnarray*}$

dargestellt werden können. Das führt auf ein lineares Gleichungssystem in $\begin{eqnarray*} \lambda, \mu, \nu \end{eqnarray*}$ . Dieses kannst du lösen. Du wirst feststellen, daß du die rechte Seite in $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ allein in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ darstellen kannst. Wegen der Ganzzahligkeit und weil alle Koordinaten größer 0 sein müssen, bleiben dann für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ noch genau 5 Fälle übrig. Es gibt also 5 magische Quadrate wie verlangt.

Aber vielleicht ist dieser Lösungsvorschlag auch zu gekünstelt. Er ist mir nur spontan eingefallen ...

16.11.2005, 21:52

Bastiii

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Zitat:

Original von LOED
was soll denn das mit dem "aus der matrix ergeben"?
ist das vielleicht einfach schlecht gesagt für: finden sie alle matrizen dieser form mit....

wenn ja, gibts sicher nicht hunderte lösungen, da es zwar 6!=720 belegungen, von denen aber höchstens ganz wenige passend sind
z.b. muss in der unteren zeile die summe beider sterne 14 sein, da bleibt schon nur noch 6+8

da gibt es doch auch noch 7+7 und 5+9 in der unteren zeile oder ? also rein theoretisch.

Ich habe ja schon die 2 matritzen herausgefunden für die das passt, mehr oder weniger durch probieren.

Aber weiss net so recht wie ich eine mathematisch korrekte lösung aufschreibe.

16.11.2005, 22:06

Leopold

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Das sind ja dann alle Möglichkeiten. Fülle die Matrix entsprechend aus. Beginne mit der letzten Zeile:

6 1 8 oder 8 1 6
7 1 7
9 1 5 oder 5 1 9

Der Rest ergibt sich dann ganz von selbst. Du weißt ja schließlich, daß sich immer 15 ergeben muß. Und so erhältst du die 5 Quadrate, von denen ich zuvor gesprochen hatte.