Folgenkonvergenz

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Krümel Auf diesen Beitrag antworten »
Folgenkonvergenz
Halli Hallo!!!
Nun haben wir die Grundeigenschaften konvergenter Folgen behandelt(Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt, konvergente Folgen sind beschränkt, xy etc.) und nun soll ich folgende Aufgabe lösen:

Sei und x>0. Was kann man zu den Vorzeichen der Folgenglieder

1. für alle n bzw.
2. für fast alle n aussagen?

Zudem sollen diese "Erkenntnisse" bewiesen werden.

Ganz ehrlich ich hab ein Brett vorm Kopf.
Wenn x>0, dass würd ich entsprechend sagen, dass alle n positiv sind und für fast alle n vielleicht, dass sie gegen den Grenzwert streben, naja das tun ja eigentlich auch alle, oder?

Wäre lieb, wenn jemand mein Gedankenchaos entwirren könnte.
LOL Hammer
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgenkonvergenz
Zitat:
Original von Krümel
Wenn x>0, dass würd ich entsprechend sagen, dass alle x_n positiv sind und für fast alle n vielleicht, dass sie gegen den Grenzwert streben, naja das tun ja eigentlich auch alle, oder?

das x hat gefehlt oder?


kannst du das wirklich sagen, wie du denkst?
schau dir mal so eine folge wie a_1=-1, a_n=1+1/n für n>1 an
sie strebt gegen 1, ist aber nicht....
für fast alle kannst du dann mit deiner these (des fast alle größer 0) kommen, musst sie aber beweisen, am besten durch widerspruch.
tipp: epsilon=x/2

das mit der konvergenz ist nix besonderes und auch falsch ausgedrückt


was das ganze bringt: es zeigt dir, dass endliche teile von folgen gar nicht mit der konvegenz zu tun haben
NACHDENKEN
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgenkonvergenz
Mhm, ganz ehrlich hilf mir das jetzt nicht weiter.

Nein, dass x hat in meinem Gedankengang nicht gefehlt, da auch in der Aufgabenstellung nach n gefragt ist.
Ich weiß das mein Ansatz nicht sonderlich intelligent war, nur wenn ich nicht weiß wies funktioniert...

Vielleicht ist deiner Meinung nach das mit der Konvergenz nix besonderes, nur ich steh eben vor einem Problem und hoffe, dass mir jemand wirklich auf die Sprünge helfen kann. Hilfe
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

LOED hat doch schon fast alles gesagt: Deine Vermutung, dass alle Glieder positiv sein müssten, ist falsch.
Es gilt aber eben, dass fast alle Glieder positiv sind. Es gibt also nur endlich viele, die nichtpositiv sind.
Noch mal ein krasseres Beispiel: Sei



Dann sind sehr viele Gleider negativ und zwar sind die sogar sehr weit weg von der 0. Aber irgendwann muss man eben ins Positive kommen, wenn die Folge gegen eine positive Zahl konvergiert. Ob das nun ab , oder ist, ist dabei relativ egal. Irgendwann muss es passieren und die negativen Glieder sind nur endlich viele, auch wenn es sehr viele sein können, wie z.B. . Du siehst dann z.B. beim letzten Beispiel, dass die ersten natürlich völlig egal sind, sie sagen nichts, wirklich gar nichts darüber aus, wogegen die Folge konvergiert! Und das ist das, was die Aufgabe bewirken soll und was LOED auch schon erklärt hat.

Gruß MSS
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn ich euch jetzt super nerven werde, aber es hat bis jetzt nur zum Teil geklingelt.

Ich verstehe nun, dass nicht alle Glieder der Folge positiv sein müssen, aber sie werden zwangsläufig positiv, wegen der Voraussetzung x>0, oder?

Das heißt ich habe endlich viele negative Glieder und unendlich viele positive Glieder.

Sorry, aber ich versteh dann nicht wie ich in den beiden Fragestellungen unterscheiden soll???
HILFE
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, sie werden zwangsläufig positiv, und zwar sind sie alle positiv ab einem bestimmten Index. Du hast auf jeden Fall nur endlich viele negative, aber sogar nur endlich viele nichtpositive Glieder und fast alle Glieder sind positiv.
Die 2. Frage dürfte damit klar sein. Was man bei der 1. schreiben soll, ist mir auch schleierhaft.

Gruß MSS
 
 
Sheli Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie soll man den Tipp verstehen?
Sollen wir jetzt mit zeigen, dass es endlich viele positive Glieder gibt und unendlich viele negative?
Und was ist wenn man bei dem zweiten Beispiel nehmen würde? Dann hätte man doch auch uendlich viele negative Folgenglieder, oder?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm und setze in die Definition von Konvergenz ein.
Das mit dem ist quatsch. Eine Folge ist eine Funktion von in . Wenn du als Definitionsbereich nimmst, ist es keine Folge.

Gruß MSS
Sheli Auf diesen Beitrag antworten »

Aber LOED hat gesagt, wir sollen das durch widerspruch beweisen. Wenn ich das jetzt in die Definition einsetzte, dann bekomme ich ja . Aber ich weiss nicht was ich damit machen soll. Ich kann das noch höchstens umformen. , aber ehrlich gesagt weiss ich gar nicht weiter verwirrt
Großes Fragezeichen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss auch diese Aufgabe machen. Wenn ich das durch Widerspruch mach (wie immer Augenzwinkern ), dann nehm ich doch , das bedeutet doch, dass ich annehme, dass es ein negatives x_n gibt das außerhabt der Epsilon-Umgebung liegt und damit negaiv ist, oder? Wenn ich das dann auflöse hab ich doch stehen und das wär doch ein Widerspruch zu Definition. Also sind damit die meisten Folgenglieder, die in der Epsilon-Umgebung liegen positiv...oder hab ich da jetzt alles durcheinandergebracht?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Großes Fragezeichen
Warum muss es ein negatives geben? Das stimmt nicht! kann auch positiv sein.

Ihr macht es euch zu kompliziert. Warum denn Widerspruchsbeweis? Der LOED kennt sich nunmal nicht ganz so gut aus in Ana. (LOED: Du weißt hoffentlich, wie ich das meine Augenzwinkern )
Es geht zwar auch mit Widerspruch, das dauert aber länger. Also, es gilt ja:

.

Setzt und formt nach um.

Gruß MSS
Großes Fragezeichen Auf diesen Beitrag antworten »

na dann kommt raus , aber was mach ich damit?
Und überhaupt hab ich noch nicht verstanden, warum man setzt, was bringt mir das?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du richtig umgeformt hättest, dann würdest du sehen, warum ich das so gewählt hab.

Gruß MSS
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgenkonvergenz
Zitat:
Original von Krümel
Wenn x>0, dass würd ich entsprechend sagen, dass alle n positiv sind

auch wenn du auf n bestehst, n durchläuft die natürlichen zahlen, dass also n>0 ist, ist kein hexenwerk



hallo max Wink
hast du schön gesagt und ja, ich weiß, wie du das meinst


beweis durch widerspruch:
annahme: nicht für fast alle n sei x_n>0 => für alle n aus IN existiert m>n mit x_m<=0

wähle nun epsilon<x/2
dann gilt: folge konvergiert, d.h. es gibt n0 aus ... mit.... für alle n>n0

nach annahme existiert m>n0 mit x_m<=0 => |x-x_m|>=x WIDERSPRUCH

schöner zwei bis dreizeiler würde ich sagen
Großes Fragezeichen Auf diesen Beitrag antworten »

Für hat man doch , und wenn ist, dann hat man ja . Der 2. Fall ist für den Fall, dass man sich von rechts an x nährt. Dann sind alle x_n positiv. Im 1. Fall ist x_n ebenfalls positiv.
Aber wo bleibt dann die Menge der neg. Folgeglieder? Oder kann man das so verstehen, dass die Folgeglieder in der Epsilon-Umgebung positiv sind, also sind "fast alle" x_n die gegen den Grenzwert konvergieren positiv?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, zu dem gibt es ja nur ein , sodass für alle stets



gilt. Das muss aber nicht für alle gelten.

ist äquivalent zu . Du brauchst also keine Fallunterscheidung und für diese ist dann, wie gesagt, positiv.

Gruß MSS
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hallo max

du hast mir noch nicht gesagt, was dich an meinem beweis stört Buschmann
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nichts, der ist ok. Augenzwinkern
Ich find es nur etwas sinnlos, wenn sie alles mit Widerspruch beweisen sollen und der Prof das auch macht. Was bringt das? Letztendlich sind unsere Beweis gleich, nur dass du am Anfang noch ne Annahme davor und am Ende nen Widerspruch hinten dran setzt. Nur sollte man mMn nicht nur Widerspruchsbeweise lernen und man sollte mMn auch nicht darauf trainiert werden, immer einen Widerspruchsbeweis anzusetzen, was aber bei den beiden anscheinend der Fall ist.
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