periodischer bruch

16.11.2005, 17:21

chrissi

periodischer bruch

wie kann man beweisen dass jeder periodischer dezimalbruch eine rationale zahl darstellt???

hat jemand en tipp für mich?

16.11.2005, 17:31

JochenX

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vorschlag von mir:

sei deine zahl oE direkt ab dem komma periodisch, mit periodefolge "a_1 a_2 ... a_n" dann ist die zahl 0,a1 a2...an a1a...an a1....
das a1*10^(n-1)+a2*10^(n-2)+...+an (einfach die periodefolge als ziffern einer ganzzahl aufgefasst) -fache von.........

teil nun mal 1 durch 9, durch 99, durch 999........

vielleicht hilfts, vielleicht ists viel zu umständlich

(edit: oder ich glaube eher ich habe die aufgabe missverstanden
geht es hier eher um kettenbrüche?

wenn ja: vergiss das oben)

16.11.2005, 17:57

chrissi

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es geht eigentlich darum nur das zu beweisen dass jeder periodische dezimalbruch eine rationale zahl darstellt und dies soll bewiesen werden.
logisch ist das ja und ich würd jetzt sagen klar stimmt und ein bsp dazu aber es soll ja bewiesen werden nur freag ich mich wie

16.11.2005, 18:05

JochenX

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dann ist dezimalbruch also doch einfache "kommaschreibweise" (sry das trotzdem mit "bruch" zu bezeichnen war mir neu)
also 1/2 als dezimalbruch 0,5 usf.

dann schau dir meinen vorschlag von oben noch mal an

beachte insbesondere, das damit jede periodische zahl als verkettung von (welchen?) rationalen zahlen geschrieben wrden kann

edit: ganz ehrlich
[quote]logisch ist das ja[quote]
warum?
vielleicht steckt da ja auch ein eigener beweisansatz drin!?

16.11.2005, 18:08

Mathespezialschüler

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Wie LOED es gesagt hat. Sei $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ diese Zahl. Wenn $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ periodischer Dezimalbruch ist, gibt es eine ganze Zahl $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ , ein $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ und dazugehörige Zahlen $\begin{eqnarray*} b_1,\ldots,b_m\in\{0,1,\ldots,9\} \end{eqnarray*}$ sowie ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_1,\ldots,a_n\in\{0,1,\ldots,9\} \end{eqnarray*}$ , sodass

$\begin{eqnarray*} b=b_0,b_1b_2\ldots b_ma_1\ldots a_na_1\ldots a_na_1\ldots a_n\ldots \end{eqnarray*}$ .

Damit ist dann

$\begin{eqnarray*} b=b_0,b_1b_2\ldots b_m+0,0\ldots 0a_1\ldots a_na_1\ldots a_n\ldots \end{eqnarray*}$ .

Stell das in einer Reihe da und dann einfach weiterrechnen.

Gruß MSS

16.11.2005, 18:17

chrissi

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dankeschöön
danke euch beiden
ich hab es nun hinbekommen
.. hmm.. ich glaub ich sollte öfters dumme fragen stellen... und einfahc nicht abschicken, ich komm meist erst drauf wenn ich abgeschickt hab und mir nochmal den kopf zermatter
naja vllt bringts der allgemeinheit mal weiter
schließlich mache alle mal das erste semester vorrausgesetzt sie studiern mathe :-)
lg chrissi

16.11.2005, 18:45

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Da die eigentliche Frage von chrissi geklärt ist, nur noch eine Anmerkung zu

Zitat:

Original von LOED
(edit: oder ich glaube eher ich habe die aufgabe missverstanden
geht es hier eher um kettenbrüche?

Bei periodischen Kettenbrüchen sieht es anders aus: Sie entsprechen genau den algebraischen Zahlen zweiten Grades, d.h., den irrationalen Lösungen von quadratischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten.

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