Ebene aufspannen

16.11.2005, 17:23

folgensucher

Ebene aufspannen

Hallo. Es geht bei mit umfolgendes Problem:

Ich habe die Gerade $\begin{eqnarray*} h_a \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} h_a: \vec x = \begin{matrix} -12 \\ a \\ 2 \end{matrix} + \lambda\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

und die Punkte $\begin{eqnarray*} A(-5|12|13), B(1|4|23), C(1|4|3) \end{eqnarray*}$ .

Die Aufgabe ist jetzt:

Alle Geraden $\begin{eqnarray*} h_a \end{eqnarray*}$ liegen in einer gemeinsamen Ebene. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene in Paramterform und in Koordinantenform.

Mein Gedanke war, dass ich doch da eine Ebene aufstellen musst in der kein a mehr vorkommt oder? Also ich muss das a doch kicken, wie bei einer Ortskurve?

Jedoch habe ich da keine Ahnung wie.

Dann als ich gar keinen Schimmer mehr hatte hab ich einfach mal gedacht, vlt reicht ja auch eine Ebene z.B:

$\begin{eqnarray*} E: \vec x = \begin{matrix} -12 \\ a \\ 2 \end{matrix} + \lambda\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{matrix} + \my\begin{matrix} -13 \\ 4 - a \\ -1 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

also den Vektor zwischen Stützvektor von $\begin{eqnarray*} h_a \end{eqnarray*}$ und dem Punkt C als Vektor, aber das kann glaub ich nich stimmen.

Könnt ihr mir pls helfen?

16.11.2005, 17:24

folgensucher

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Es heisst

$\begin{eqnarray*} h_a: \vec x = \begin{pmatrix} -12 \\ a \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} E: \vec x = \begin{pmatrix} -12 \\ a \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu\begin{pmatrix} -13 \\ 4 - a \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sry unglücklich

16.11.2005, 18:30

sqrt(2)

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Also, stellen wir fest, was du für die Ebene brauchst:

1. Spannvektor
2. Spannvektor
Aufvektor

Da die Geraden allesamt in der Ebene liegen, hast du den ersten Spannvektor schon, nämlich den Richtungsvektor der Geraden.

Die Aufvektoren aller Geraden zeigen logischerweise auch alle auf Punkte der Ebene. Diese Punkte liegen auch auf einer Geraden, kannst du die aufstellen? Deren Richtungsvektor ist dein zweiter Spannvektor.

Dann brauchst du nur noch irgendeinen Punkt irgendeiner Geraden für den Aufvektor. Such dir einen aus.

16.11.2005, 18:43

iammrvip

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sry beim falschen Beitrag gepostet unglücklich

16.11.2005, 18:44

folgensucher

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Hmm ok. Naja allgemein gesagt ist doch irgendein Punkt auf der Geraden:

$\begin{eqnarray*} P_a(\lambda - 12| a - 2\lambda | 2 + 2\lambda) \end{eqnarray*}$

wenn ich das jetzt für zwei Geraden mache, wäre da

$\begin{eqnarray*} P_a(\lambda - 12| a - 2\lambda | 2 + 2\lambda) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} P_{a + 1}(\lambda - 12| a + 1 - 2\lambda | 2 + 2\lambda) \end{eqnarray*}$

oder?

Und nun zwischen den beiden eine Gerade bilden?

16.11.2005, 18:47

sqrt(2)

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Ich meinte eine ganz bestimmte Menge von Punkten, die nämlich, zu denen die Aufvektoren zeigen.

16.11.2005, 19:48

folgensucher

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Also so wie ich das jetzt verstehe meinst du einfach nur die Punktmenge

$\begin{eqnarray*} P_a(-12|a|2) \end{eqnarray*}$

?

16.11.2005, 19:49

sqrt(2)

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Genau. Der Richtungsvektor der Geraden, auf der die alle liegen, ist dein zweiter Spannvektor.

16.11.2005, 19:58

folgensucher

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Ach so einfach darf ich das machen Big Laugh

Also ginge

$\begin{eqnarray*} E: \vec x = \begin{pmatrix} -12 \\ a \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu\begin{pmatrix} -12 \\ a \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

16.11.2005, 21:02

sqrt(2)

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Nein. Der Richtungsvektor der Geraden, auf der alle $\begin{eqnarray*} P(-12|a|2) \end{eqnarray*}$ liegen, ist nicht gleich der Beschreibung der Punktmenge mit einem Parameter.

Zumal du aus $\begin{eqnarray*} P(-12|a|2) \end{eqnarray*}$ nicht direkt die Gerade zu erkennen scheinst, auf der die Punkte liegen, such dir doch zwei beliebige P und stell die Gerade auf, die durch sie verläuft. Von der nimmst du dann den Richtungsvektor.

17.11.2005, 14:00

folgensucher

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Hallo nochmal smile

Also ich heute mal mit meiner Lehrerin gesprochen, sie hat es so gemacht, dass sie sich zwei Punkte nimmt

$\begin{eqnarray*} P_0(-12|0|2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_1(-12|1|2) \end{eqnarray*}$

und nun die Ebene aufspannt:

$\begin{eqnarray*} E: \vec x = \begin{pmatrix} -12 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad (\lambda, \mu \in \mathbb R) \end{eqnarray*}$

nur find ich das etwas komisch. Sie greift sich ja einfach zwei beliebige Punkte und spannt die Ebene auf...

Mich würde dein Lösungweg mal interessieren. Ich weiss, dass man keine kompletten Lösungswege posten darf, aber könntest du mal eine Ausnahme machen bitte?

17.11.2005, 15:09

sqrt(2)

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Zitat:

Original von folgensucher
nur find ich das etwas komisch. Sie greift sich ja einfach zwei beliebige Punkte und spannt die Ebene auf...

Das versuche ich dir die ganze Zeit zu erklären: Die Punkte liegen alle auf einer Geraden (und in der gefragten Ebene). Eine Gerade ist eindeutig bestimmt durch zwei Punkte, die auf ihr liegen.

Zitat:

Original von folgensucher
Mich würde dein Lösungweg mal interessieren. Ich weiss, dass man keine kompletten Lösungswege posten darf, aber könntest du mal eine Ausnahme machen bitte?

Inzwischen hast du ja eine eigene, insofern...

Ich sehe sofort, dass alle Punkte, zu denen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-12\\a\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zeigt, auf der Geraden

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix}-12\\0\\2\end{pmatrix}+a\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

liegen, von der du, wie gesagt, den Richtungsvektor nehmen kannst. Ich habe den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-12\\a\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ also nur in einen konstanten und einen variablen Teil aufgespalten (schreibe die Gerade einfach einmal als einen Vektor, dann erhältst du den ursprünglichen).

Für den Fall, dass dir das nicht sofort auffällt, habe ich dir genau dasselbe vorgeschlagen, wie deine Lehrerin:

Zitat:

Original von sqrt(2)
Zumal du aus $\begin{eqnarray*} P(-12|a|2) \end{eqnarray*}$ nicht direkt die Gerade zu erkennen scheinst, auf der die Punkte liegen, such dir doch zwei beliebige P und stell die Gerade auf, die durch sie verläuft.

18.11.2005, 08:34

folgensucher

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Achso entschuldige, dann hab ich dich nich gleich verstanden unglücklich

.

Danke für deine Hilfe smile

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