Eigenvektoren und Spiegelungen

23.04.2008, 18:23

Mila

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Eigenvektoren und Spiegelungen

Also es handelt sich um folgende Aufgabe: traurig

traurig

$\begin{eqnarray*} a\in Rn \end{eqnarray*}$ besitze die Länge 1 und $\begin{eqnarray*} s:Rn -> Rn \end{eqnarray*}$ . Rn sei durch s(x) := 2 <x,a> a - x definiert.
Was hat s für eine geometrische Bedeutung? Eigenwerte? Lage der Eigenvektoren?

1)
Also ich weiß bereits, dass ||a||=1 und dies für den Eigenvektor gilt. außerdem habe ich durch Einsetzen von WErten mit einem Eigenvektor in R2 und R3 herausgefunden, dass durch s(x) x gespiegelt wird - aber sozusagen an der Länge des Eigenvektors...Ich weiß nicht genau, ob ihr versteht, was ich meine...auf jeden Fall habe ich den Eigenvektor (0,8 , 0,6) in ein Koordinatensystem gezeichnet und dadurch eine Gerade gezogen...dann habe ich verschiedenste Punkte in die Formel eingesetzt...und diese Punkte wurde immer an dieser Gerade gespiegelt...aber kann man das so sagen?

2) Beim zweiten Teil weiß ich bisher nur, dass Eigenwerte den Eigenvektor strecken - als Streckfaktor...ich weiß aber nicht genau, wie ich das mit der Aufgabe verbinden soll...Kann man 2 <x,a> als Eigenwert bezeichnen?

3) Da habe ich noch gar keine Ahnung...

Letztlich habe ich noch in ERfahrung gebracht, dass:

Eine Spiegelung
an einer zur Achse R a senkrechten Ebene durch den Nullpunkt läßt diese Ebene punktweise fest und bildet alle Punkte der Achse auf den gegenüberliegenden Punkt ab. Daher ist 1 ein Eigenwert und die Spiegelebene der zugehörige Eigenraum; ein weiterer Eigenwert ist -1, und der zugehörige Eigenraum ist die auf der Spiegelebene senkrechte Achse R a.

Bringt mir das was?

Es wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte...

glg Wink

Wink

ModEdit: Nicht weinen ... (zumindest nicht im Titel; modifiziert). mY+

23.04.2008, 20:06

WebFritzi

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Was du (wahrscheinlich) richtig erkannt hast, ist, dass die Abbildung eine Spiegelung an der a-Achse ist. Nun zu den Eigenwerten und -vektroren. Geh doch mal systematisch vor und löse die Gleichung

$\begin{eqnarray*} s(x) = \lambda x. \end{eqnarray*}$

23.04.2008, 20:19

Mila

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Ok, habe mir nun noch folgendes überlegt:

und zwar, dass es sich um eine Spiegelung um die Ursprungsgerade handelt...wobei diese gerade die a-Achse ist oder?

ansonsten:

$\begin{eqnarray*} s(x) = \lambda x \end{eqnarray*}$

wie soll ich die Gleichung lösen...stehe ich grad auf dem Schlauch...meinst du

$\begin{eqnarray*} 2 <x,a> a - x = \lambda x \end{eqnarray*}$

oder kann man sagen:

$\begin{eqnarray*} s(a) = \lambda a \end{eqnarray*}$ ...dann bewegt man sich doch auf der a-Achse oder...

Ich glaube ich stelle grad zu viele Fragen:-)

23.04.2008, 20:23

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mila
und zwar, dass es sich um eine Spiegelung um die Ursprungsgerade handelt...wobei diese gerade die a-Achse ist oder?

Erstens spiegelt man "an" etwas und nicht "um" etwas. Zweitens gibt es nicht "die" Ursprungsgerade. Aber wie gesagt ist s(x) eine Spiegelung von x an der a-Achse.

Zitat:

Original von Mila
ansonsten:

$\begin{eqnarray*} s(x) = \lambda x \end{eqnarray*}$

wie soll ich die Gleichung lösen...stehe ich grad auf dem Schlauch...meinst du

$\begin{eqnarray*} 2 <x,a> a - x = \lambda x \end{eqnarray*}$

Ja, natürlich meine ich das. Wie wärs damit, erstmal mit x auf beiden Seiten zu addieren?

23.04.2008, 20:32

Mila

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Alles klar...habe ich ja auch gedacht...ich ordne jetzt mal meine Gedanken...

$\begin{eqnarray*} \frac{2<x,a>a}{\lambda+1} = x \end{eqnarray*}$

ok?

oder nach Lambda:-)

$\begin{eqnarray*} \frac{2<x,a>a}{x}- 1 = \lambda \end{eqnarray*}$

Wenn man für x=a wählen würde:

$\begin{eqnarray*} \frac{2<a,a>a}{a}- 1 = \lambda \end{eqnarray*}$

2 ||a|| - 1 = $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

2-1 = $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

Aber das stimmt wahrscheinlich nicht und ist schwachsinnig;-)

23.04.2008, 20:40

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mila
Alles klar...habe ich ja auch gedacht...ich ordne jetzt mal meine Gedanken...

$\begin{eqnarray*} \frac{2<x,a>a}{\lambda+1} = x \end{eqnarray*}$

ok?

Nein. Es könnte hier sein, dass du durch Null teilst. Das musst du durch eine Fallunterscheidung ausschließen.

Zitat:

Original von Mila
oder nach Lambda:-)

$\begin{eqnarray*} \frac{2<x,a>a}{x}- 1 = \lambda \end{eqnarray*}$

Aua. Mir tun meine Augen weh! Du kannst doch nicht durch einen Vektor teilen...

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23.04.2008, 20:45

Mila

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Ich weiß;-) Das wäre ja auch nur so schön einfach gewesen...daher steht da ja auch...das es total schwachsinning ist...sorry...

ok, nun zur aufgae zurück...ich muss also nun eine Fallunterschiedung für Lambda machen...

Lambda = -1 => keine Lösung, da ma nicht durch Null teilen darf

Lambda = 0 => x= 2<x,a>a

Lambda >/< 0 ist die lösung definiert

Es tut mir Leid, aber habe mich wirklich damit beschäftigt...ich versuche nicht, über Internet eine Lösung zu finden...aber ich finde einfach nichts brauchbares...

Wie muss ich denn jetzt weiter machen...

also ich weiß nicht, ob ich da jetzt auch wieder falsch liege, aber eion Eigenwert ist ja der Streckungsfaktor des Eigenvektores...wenn nun x=a wäre, würde Lambda ja den Eigenvektor verschieben...natürlich weiß ich noch nicht ganz, ob mir das jetzt was bringt...

23.04.2008, 21:02

Mila

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Auperdem ist eine Spiegelung ja eine lineare Abbildung...wenn s(x) eine Spiegelung beschreibt und gilt: $\begin{eqnarray*} s(x) = \lambda x \end{eqnarray*}$ ...dann ist Lambda doch der Eigenwert oder?

Oh man, ich glaube ich verstehe gar nichts mehr...

Muss ich nicht auch noch das x aus <x,a> rausholen?

23.04.2008, 21:40

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mila
Ich weiß;-) Das wäre ja auch nur so schön einfach gewesen...daher steht da ja auch...das es total schwachsinning ist...sorry...

Warum schreibst du es dann? Ich bin mir nicht so sicher, dass du das wirklich wusstest...

Zitat:

Original von Mila
ok, nun zur aufgae zurück...ich muss also nun eine Fallunterschiedung für Lambda machen...

Lambda = -1 => keine Lösung, da ma nicht durch Null teilen darf

Lambda = 0 => x= 2<x,a>a

Mir tun schon wieder die Augen weh. "keine Lösung" ist natürlich falsch. lambda = -1 sollte man schon betrachten. Dann ist die rechte Seite halt Null. Und wieso sollte die Alternative Lambda = 0 sein? unglücklich

unglücklich

23.04.2008, 21:46

Mila

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Doch ich wusste es, da ich darüber aufgeklärt wurde, als ich mich mit der Hesseschen-Normalform beschäftigt habe...aber egal...ich werde demnächst solche Bemerkungen lassen...

...und dann tut es mir Leid, dass ich nicht sofort auf eine Lösung komme...aber wenn es mir so klar wäre, würde ich ja auch nicht fragen...aber ich danke dir trotzdem für deine hilfe und wäre sehr dankbar, wenn du mich auf den richtigen Weg bringen würdest...ich bin aber noch nicht angekommen...

Wenn Lambda=-1 ist, müsste also die rechte Seit gleich 0 sein, damit sich eine Lösung ergibt...

kommen wir nun erstmal zu einer grundsätzlichen Frage...ich weiß eigentlich gar nicht wieso ich überhaupt nach x auflöse - außer dass x gespiegelt wird- und dann müsste ich doch auch x aus dem Skalarprodukt herausholen...

Geht es doch darum, dass Lambda den Eigenwert beschreibt...

23.04.2008, 22:10

Mila

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Nun habe ich noch was anderes gelesen:

Wenn Ursprungsgeraden auf sich selbst abgebildet werden (das ist der Fall, wenn das Bild des Richtungsvektors kollinear zu sich selbst ist):

w=f(v)=b*v

V ist eigenvektor der linearen Abbildung. b ist Eigenwert.

s(x) ist eine Spiegelung und damit eine lineare Abbildung:

s(x) = $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ x

Dann könnte man doch für x=a wählen? und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ beschreibt dann den Eigenwert...zum Eigenvektor a...

23.04.2008, 22:27

WebFritzi

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Ich gebs auf, sorry. Jemand anderes?

23.04.2008, 22:29

Mila

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Sorry, bitte können wir es nochmal versuchen...ich bin auch komplett konzentriert...bitte...

Ich möchte es so gerne verstehen...

23.04.2008, 22:34

WebFritzi

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Gut, letzter Versuch. Da du dich sehr schrwer tust, bringe ich dich im folgenden mit meinen Fragen näher an die Lösung ran. Es gilt

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^n = {\rm span}\{a\} \oplus {\rm span}\{a\}^\perp. \end{eqnarray*}$

Was ist s(x), wenn $\begin{eqnarray*} x\in {\rm span}\{a\} \end{eqnarray*}$ , und was ist s(x), wenn $\begin{eqnarray*} x\in {\rm span}\{a\}^\perp\,? \end{eqnarray*}$

23.04.2008, 22:42

Mila

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Beginne ich zunächst einmal so und kläre die Begrifflichkeiten...

Mit Span bezeichnest du doch die Menge aller Linearkombinationen der "Familie" a (also (a1,...,an) und die Orthogonalen oder?

Dann sollte s(x) der aufgespannte Raum sein oder?

23.04.2008, 22:45

WebFritzi

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span{a} ist die Menge der (reellen) Vielfachen von a. Das andere ist halt das Orthogonalkomplement davon und besteht aus allen Vektoren, die auf a senkrecht stehen.

23.04.2008, 23:00

Mila

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In einem R-Vektorraum mit Skalarprodukt sind lineare Abbildungen L: V -> V mit der Eigenschaft <Lv,Lv> =<v,v> für alle v $\begin{eqnarray*} \in V \end{eqnarray*}$ orthogonale Transformatioenen.
Mit der Längenerhaltung gilt: ||Lv||=||v||...etc. kann man das nicht nutzen...

Danke erstmal...überlege mal weiter...

23.04.2008, 23:04

Mila

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Wenn $\begin{eqnarray*} x\in span\{ a\} \end{eqnarray*}$ , müsste $\begin{eqnarray*} s(x)\in span\{ a\} ^{T} \end{eqnarray*}$

und andersrum...

sorry:

23.04.2008, 23:05

WebFritzi

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Nein, das ist falsch.

23.04.2008, 23:10

Mila

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Sorry, wenn $\begin{eqnarray*} x\in span\{ a\} \end{eqnarray*}$ liegt x auf der a-Achse...dann liegt auch s(x) auf der a-Achse...wenn $\begin{eqnarray*} x\in span\{ a\}^{T} \end{eqnarray*}$ , dann liegt auch s(x) auf der Orthogonalen...

Beispiel:

a=(0,8 , 0,6) und x=(4,3). s(x) liegt auf a.

a=(0,8 , 0,6) und x= (2,1). s(x) liegt auf der Orthogonalen.

23.04.2008, 23:17

WebFritzi

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Die Behauptungen sind richtig. Aber bewiesen hast du das mit Beispielen natürlich nicht.

23.04.2008, 23:18

Mila

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Das stimmt, aber dann bin ich jetzt schon einmal auf dem richtigen Weg...also, wie muss ich denn nun weiter machen...

Bei meinem Beispiel habe ich festgestellt, dass im ersten Fall:

s(x) = x (also (4,3) = (4,3) ist...dann könnte man ja annehmen, dass wenn gilt s(x) = $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ x, $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ =1 sein muss, damit diese Bedingung zutrifft...

23.04.2008, 23:45

Mila

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Dann könnte man doch unterschiedn zwischen $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ =1 und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = -1.

Für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = -1 muss x=0 sein, damit es eine Lösung gibt. Dann wäre das Skalarprodukt = 0 und nach Definition sind x und a dann orthogonal zueinander.

Für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = 1 liegt x auf der a-Achse.

24.04.2008, 06:28

Mila

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Ey, sorry...das ich gestern so auf dem Schlauch stand...hatte mich da ein bißchen festgefahren...und wollte unbedingt etwas in die Lösung hineininterpretieren...ich hatte gestern noch eine nächtliche Eingebung....diese werde ich im Laufe des Tages noch zum Betsen geben;-) Also ich hoffe, dass ich dir den Abend nicht vollkommen versaut habe und danke dir für deine Hilfe...noch einen schönen Tag!

24.04.2008, 19:13

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mila
Dann könnte man doch unterschiedn zwischen $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ =1 und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = -1.

Ja.

Zitat:

Original von Mila
Für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = -1 muss x=0 sein, damit es eine Lösung gibt.

x = 0 ist zwar eine Lösung, aber nicht die einzige. Denk nochmal nach (insbesondere darüber, warum ich dir zwei Unterräume genannt habe und nicht nur einen).

Ach so, und versaut hast du mir den Abend nicht. Keine Angst. smile

smile

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