Verteilung von X+

23.04.2008, 18:30

system-agent

Verteilung von X+

Hi Zusammen !

Zuerst die Aufgabe:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} X:\Omega\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Zufallsgrösse mit Verteilung $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} X^+:=\max(X,0) \end{eqnarray*}$

Nun mir ist klar, dass ich
$\begin{eqnarray*} P[X^+(\omega)\leq t]:=P[X(\omega)\in(-\infty,t]] \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ bestimmen soll.

Nun ist für $\begin{eqnarray*} \max\{X,0\} \end{eqnarray*}$ der entscheidene Punkt wo $\begin{eqnarray*} X(\omega)=0 \end{eqnarray*}$ ist.
Ich definiere mal $\begin{eqnarray*} A:=\{\omega\in\Omega\quad|\quad X(\omega)=0\} \end{eqnarray*}$
Man sieht leicht, dass $\begin{eqnarray*} A\in\mathcal A \end{eqnarray*}$ ist, für $\begin{eqnarray*} \mathcal A \end{eqnarray*}$ die Sigma-Algebra auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ (denn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist messbar weil Zufallsgrösse).

Ich habe mir gedacht:
$\begin{eqnarray*} P[\max\{X,0\}\leq t]=P[X-1_A\cdot X\leq t] \end{eqnarray*}$
als die Verteilungsfunktion, aber damit kann ich mich nicht anfreunden ( $\begin{eqnarray*} 1_A \end{eqnarray*}$ ist der Indikator von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ), denn ich denke man sollte eine konkrete Definition von der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_{X^+}(t) \end{eqnarray*}$ geben, aber die finde ich nicht.

Weiss jemand ein guten Rat?

23.04.2008, 20:00

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Warum so kompliziert? Für $\begin{eqnarray*} t\geq 0 \end{eqnarray*}$ ist offenbar

$\begin{eqnarray*} P(X^+ \leq t) = P(\max(X,0) \leq t) = P(X\leq t) = F_X(t) \end{eqnarray*}$ .

Und für $\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$ ist schlicht und einfach $\begin{eqnarray*} P(X^+ \leq t) = 0 \end{eqnarray*}$ . Anders formuliert: Die gesamte Wkt, die bei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ auf der negativen Achse versammelt war, fällt jetzt bei $\begin{eqnarray*} X^+ \end{eqnarray*}$ auf den Punkt 0.

EDIT: Schweigen im Walde, deswegen vielleicht noch ausführlicher erklärt: Für beliebige $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ergibt sich aus der Maximumeigenschaft

$\begin{eqnarray*} P(X^+ \leq t) = P(\max(X,0) \leq t) = P(X\leq t\,\wedge\, 0\leq t) \end{eqnarray*}$ .

Im Fall $\begin{eqnarray*} t\geq 0 \end{eqnarray*}$ ist die zweite Bedingung immer (also für alle $\begin{eqnarray*} \omega\in\Omega \end{eqnarray*}$ ) erfüllt, kann demnach entfallen.

Im Fall $\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$ ist die zweite Bedingung hingegen nie erfüllt, die Wkt des Durchschnitts somit Null.

24.04.2008, 18:05

system-agent

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Tut mir leid wegen dem Schweigewald, hatte gestern keine Zeit mehr.

Habe heute nochmal darüber nachgedacht, habs nun kapiert.
War verwirrt weil $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ja irgendeine Funktion ist und demnach auch quasi "beliebig" die negativen Werte verteilt haben kann, deshalb auch der Ansatz mit der Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

Danke nochmal ! Augenzwinkern

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