Fläche Kreisring

23.04.2008, 19:25

Jewlz

Fläche Kreisring

Hallo liebes Forum,
ich habe ein kleines Problem q.q
Ich soll zu Freitag einen kleinen Vortrag zu folgender Behauptung vorstellen:

Ein sehr dünner Kreisring (mit Radius r>>d) hat in guter Näherung die Fläche
A~u x d = 2 x pi x r x d

Habe mal meine SKizze beigefügt Big Laugh

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[attach]8041[/attach]

Naja nun soll ich diesen Sachverhalt an einem Beispiel verdeutlichen.
Z.B. dünne Goldschicht auf einem Kreisring..

Nunja Big Laugh

ehm wieso ist die oben genannte Formel nur näherungsweise?? q.q
Eigentlich lässt sich die Fläche doch damit exakt bestimmen...?!
Und was soll Radius r>>d bedeuten? Ich kenne nur > ....

Hoffe ihr könnt mir helfen wie ich den Vorttrag angehen soll >.<

Greetz Jewlz

23.04.2008, 21:07

mYthos

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d << r heisst, d ist sehr klein gegen r

Die exakte Formel für die Kreisringfläche ist

$\begin{eqnarray*} A = (R^2 - r^2) \pi \end{eqnarray*}$

Diese kann man umschreiben (mit binomischer Formel und R - r = d) zu:

$\begin{eqnarray*} A = (R + r)(R - r) \pi = (R + r) d \pi \end{eqnarray*}$

Da nun d sehr klein gegen r ist, kann man R = r setzen und es folgt

$\begin{eqnarray*} A \approx 2rd \pi \end{eqnarray*}$

mY+

07.02.2010, 10:32

Milkaschokolade

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Hallo,

ich habe auch eine kleine Frage zur Fläche eines Kreisrings. Wir haben aufgeschrieben, dass diese $\begin{eqnarray*} 2 \pi rdr \end{eqnarray*}$ groß ist.

Habe mir jetzt überlegt wie man darauf kommen kann und bin auf folgendes gekommen:
$\begin{eqnarray*} A= \pi (R^2-r^2) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} R^2=r+dr \end{eqnarray*}$ kommt man dann auf $\begin{eqnarray*} A= \pi 2 r dr + \pi (dr)^2 \end{eqnarray*}$ .

In der zuerst genannten Formel, die wir aufgeschrieben haben, fehlt das $\begin{eqnarray*} \pi (dr)^2 \end{eqnarray*}$ .
Wird es in der Regel weggelassen, da $\begin{eqnarray*} (dr)^2 \end{eqnarray*}$ ja sehr, sehr klein ist?

Freue mich auf eure Antworten!

07.02.2010, 18:19

mYthos

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Dein $\begin{eqnarray*} \dd r \end{eqnarray*}$ entspricht genau dem d, der Breite (Dicke) des Kreisringes, in meinem Beitrag von 2008. Sohin sind beide Näherungsformeln für die Kreisringfläche identisch.
Allerdings hast du dich verschrieben, es sollte sich wohl um $\begin{eqnarray*} (r + \dd r)^2 \end{eqnarray*}$ handeln.

Und es ist richtig, dass $\begin{eqnarray*} (\dd r)^2 \end{eqnarray*}$ weggelassen werden kann, weil dieses in der Regel sogar noch viel kleiner ist als $\begin{eqnarray*} \dd r \end{eqnarray*}$ . Man darf aber solche Terme wie $\begin{eqnarray*} r \cdot \dd r \end{eqnarray*}$ natürlich nicht weglassen, weil dabei eine zwar kleine Größe immer noch mit dem "großen" Faktor r behaftet ist und der Fehler dadurch nicht mehr vernachlässigbar klein sein würde.

mY+

07.02.2010, 20:50

Milkaschokolade

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Zitat:

Original von mYthos
Allerdings hast du dich verschrieben, es sollte sich wohl um $\begin{eqnarray*} (r + \dd r)^2 \end{eqnarray*}$ handeln.

Ja, sorry, genauso sollte es heißen
Danke für die Antwort!

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