Grenzwert

16.11.2005, 18:54

Tony

Grenzwert

Tach!!!

Ich soll den Grenzwert der folgenden Folge

Xn:= nq^n (q $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R ,\mid q \mid \end{eqnarray*}$ <1)

angeben und dann meine Antwort begründen.

Ich denke, dass die Folge gegen 0 konvergiert, da die Folge von q^n gegen Null konvergiert und dann müsste dies Folge ja auch gegen Null konvergieren oder täusche ich mich da???

Danke fürs anschauen.....

16.11.2005, 19:37

Mathespezialschüler

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Siehe hier.

Gruß MSS

16.11.2005, 19:52

Tony

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Ja vielen Dank erstmal, nu leider kann ich es nicht genau auf meine Aufgabe anwenden...

stelle mich bestimmt nun bisschen blöd an, aber kann es wirklich nicht auf meine Aufgabe anwenden.... Hilfe

16.11.2005, 19:54

Mathespezialschüler

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Setze $\begin{eqnarray*} b=\frac{1}{q} \end{eqnarray*}$ , dann läuft es auf das in dem anderen Thread hinaus.

Gruß MSS

16.11.2005, 20:29

Tony

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Ok, habe es mal versucht...

$\begin{eqnarray*} \frac{An+1}{An} \leq q \end{eqnarray*}$
positives q <=1 mit n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{An+1}{An} = \frac{(n+1)*q^{n}}{q^{n+1}*n} = \frac{(n+1)}{q*n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)}{q*n} < q < 1 \end{eqnarray*}$

wäre das nun soweit richtig???

Und was nun, den Rest konnte ich in dem anderen Thread leider nicht mehr ganz nachvollziehen...

16.11.2005, 20:38

Mathespezialschüler

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Zunächst müssen wir die Bezeichnungen ändern, du hast zweimal $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ benutzt, aber für verschiedene Dinge.
Also, beweise, dass es eine Zahl $\begin{eqnarray*} p<1 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{x_{n+1}}{x_n}\right|\leq p \end{eqnarray*}$

für fast alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt.
So, und das jetzt bitte nochmal mit diesen Bezeichnungen! Augenzwinkern

Gruß MSS

edit: Betrag hinzugefügt.

16.11.2005, 20:55

Tony

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Ok, werde es dann noch mal versuchen

$\begin{eqnarray*} \frac{An+1}{An} \leq p \end{eqnarray*}$
positives p <=1 mit n
$\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{An+1}{An} = \frac{(n+1)*q^n}{q^{n+1}*n} = \frac{n+1}{q*n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{q*n} < p < 1 \end{eqnarray*}$

so das müsste nun aber bis zu dem Punkt stimmen?!?!?!

16.11.2005, 21:03

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Tony
positives p <=1 mit n

Nein, es muss $\begin{eqnarray*} p<1 \end{eqnarray*}$ sein. Ich frag mich, was jetzt $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ bei dir ist!?
Wir müssen übrigens die Beträge betrachten.
Eigentlich ist doch

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{x_{n+1}}{x_n}\right|=\left|\frac{(n+1)q^{n+1}}{nq^n}\right|=\frac{n+1}{n}\cdot |q| \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt versuch mal ein solches $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ zu finden (in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ).

Gruß MSS

16.11.2005, 21:22

Tony

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Ohh, ja da sollte auch eigentlich ein p stehen, habe mich leider vertippt...

mhh, das p müsste ja zwischen null und 1 liegen, ist es da nicht eigentlich egal wie es aussieht, hauptsache es liegt dazwischen?????Muss ich da nun ein Beispiel für angeben oder wie komme ich da nun genau drauf???

16.11.2005, 22:05

Mathespezialschüler

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Du hast doch auch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ geschrieben! Der Fehler war, dass du $\begin{eqnarray*} p\leq 1 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} p<1 \end{eqnarray*}$ geschrieben hast!
Du musst für jedes $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ein solches $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ finden. Ob du es explizit angibst oder nur die Existenz beweist, ist dabei egal. Ersteres dürfte aber wesentlich einfacher sein.

Gruß MSS

16.11.2005, 22:32

Tony

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mhhh, also ich würde sagen das

p> positives q

sein muss.

da p ja zwischen 0 und 1 liegt und $\begin{eqnarray*} \mid q \mid \end{eqnarray*}$ < 1 ist und p immer größer als q sein muss....

Aber kann es nicht aufschreiben. Oder liege ich hier nun ganz falsch???

16.11.2005, 23:05

Mathespezialschüler

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Das hört sich schon ganz gut an. Ich geb dir mal einen Schubser:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{x_{n+1}}{x_n}\right|=\frac{n+1}{n}\cdot |q| \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}\to 1 \end{eqnarray*}$ geht für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ , existiert ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ stets

$\begin{eqnarray*} 1<\frac{n+1}{n}<\frac{\frac{1}{|q|}+1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Hilft dir das? Augenzwinkern

Gruß MSS

17.11.2005, 17:58

Tony

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Mhh, das erste verstehe ich ja noch, aber wie kommst du auf die letzte Zeile???

Ich dachte das müsste immer kleiner als 1 sein oder habe ich nun was durcheinander gebracht???

17.11.2005, 22:21

Mathespezialschüler

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Was muss dMn immer kleiner als 1 sein?
Wie ich darauf komme? Das ist einfach die Definition der Konvergenz (wobei ich $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\frac{\frac{1}{|q|}-1}{2} \end{eqnarray*}$ gesetzt habe).

Gruß MSS

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