Supremum, Infimum, Maximum, Minimum (zum x-ten Mal ;) )

17.11.2005, 12:06

Legion

Supremum, Infimum, Maximum, Minimum (zum x-ten Mal ;) )

Hallo!

Leider konnte ich meine letzte Analysis-Übung nicht besuchen und stehe nun vor dem Problem, dass ich keine Ahnung habe, wie man das lösen könnte (nicht mal einen Ansatz) und die Mitschriften Anderer auch nicht informativ waren.

Die Aufgabe lautet:
"Bestimmen Sie (falls vorhanden) das Infimum, Supremum, Minimum und Maximum der folgenden Mengen reeller Zahlen."

1. $\begin{eqnarray*} \{ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \mid n,m \in \mathbb N \} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \{ x + \frac{1}{x} \mid \frac{1}{2} < x \leq 2 \} \end{eqnarray*}$

Wie geht man an eine solche Aufgabe heran? Leider wurde ich aus bisherigen Threads zu dem Thema nicht schlau. Über Anregungen und Tipps wäre ich Euch sehr dankbar.

17.11.2005, 12:39

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

gar keine idee zur ersten?
dann versuch dir mal ein paar fragen klar zu machen:
kann die menge beliebig groß werden?
kann sie beliebig klein werden?
versuche schranken zu bestimmen (eigentlich sehr leicht), schaue ob das die kleinsten oberen bzw. größten unteren schranken sind, oder ob es kleinere bzw. größere geben kann

wenn du die größte untere schranke gefunden hast, frag dich: wird der wert angenommen?
dito für kleinste obere schranke

zur zweiten:oftmals hilft auch, sich dass einfach als funktion f(x)=... darzustellen und erstmal über ableiten die extrema auf dem intervall zu suchen

mach ma

17.11.2005, 18:10

Legion

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke sehr...

Zur Ersten:
1 wäre dann der größte Wert den die Menge annehmen kann. Also wäre 1 sowohl Supremum als auch Maximum, da $\begin{eqnarray*} 1 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Nach unten kann sie beliebig klein werden. Eine untere Schranke wäre 0. Da die 0 aber keine natürliche Zahl ist, hat die Menge weder ein Miinimum, noch ein Infimum.

Zur Zweiten:
Der kleinste angenomme Wert ist 2 für x=1. Also wäre 2 sowohl Infimum als auch Minimum. Der größte angenommene Wert ist 2,5 für x=2. So wäre 2,5 Maximum und Supremum.

Trifft das zu?

17.11.2005, 18:22

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Legion
Zur Ersten:
1 wäre dann der größte Wert den die Menge annehmen kann.

NEIN, setz mal m=n=1

Zitat:

Also wäre 1 sowohl Supremum als auch Maximum, da $\begin{eqnarray*} 1 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

mach was aneres aus 1, dann ist deine beründung richtig

Zitat:

Nach unten kann sie beliebig klein werden. Eine untere Schranke wäre 0.

ein widerspruch!! da sie eine untere schranke hat, kann sie eben NICHT beliebig klein werden
zeige außerdem noch: 0 GRÖßTE untere schranke

Zitat:

Da die 0 aber keine natürliche Zahl ist, hat die Menge weder ein Miinimum, noch ein Infimum.

falsche annahme, warum sollte deine unterre schranke aus IN sein?
0 ist nicht minimum, weil....
0 ist aber infimum,.....

Zitat:

Zur Zweiten:
Der kleinste angenomme Wert ist 2 für x=1. Also wäre 2 sowohl Infimum als auch Minimum. Der größte angenommene Wert ist 2,5 für x=2. So wäre 2,5 Maximum und Supremum.

Trifft das zu?

das müsste passen

17.11.2005, 20:00

Legion

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das war ein doofer Fehler (hoffentlich mache ich jetzt nicht den Nächsten). 2 wäre dann Supremum und Maximum.

Mein Trugschluss war scheinbar, anzunehmen, dass die ganze Menge auf die natürlichen Zahlen beschränkt ist. Aber darüber gibt es ja keine näheren Angaben.
Ich versuche mich nun einfach mal daran, dass ein wenig formal zu machen:
Sei $\begin{eqnarray*} A := \{ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \mid n,m \in \mathbb N \} \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} 0 < a \ \forall a \in A \end{eqnarray*}$
Somit ist a eine untere Schranke von A.
Um zu zeigen, dass 0 größte untere Schranke ist, wäre mein einziger Gedanke, zu sagen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n,m \to \infty} (\frac{1}{m} + \frac{1}{n}) = 0 \end{eqnarray*}$ . Somit sieht man, dass sich A zwar asymptotisch an 0 annähernd, aber 0 kein Element von A ist. Daher ist 0 zwar Infimum, aber kein Minimum.

Ist das in etwa zutreffend? Leider habe ich keine Ahnung, wie ich das stichhaltig zeigen kann verwirrt

17.11.2005, 20:02

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

ich denke, den grenzwert werdet ihr in dieser vorlesung noch nicht bewiesen haben. dann darfst du den auch nicht benutzen... mach es über die definition, mit dem $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ "Beweis"...
mfG 20

17.11.2005, 20:42

Legion

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Vorlesung kann ich nicht besuchen, da zeitgleich auch "Grundlagen der theoretischen Informatik" stattfindet, somit kann ich mich nur aus dem Skript "ernähren" und gerate dadurch durcheinander Augenzwinkern

.

Wie lautet denn die Definition mit dem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ?

In unserem Skript finde ich nur das Lemma für's Supremum, welches ich aber nicht wirklich verstehe.

Lemma (Charakterisierung eines Supremums): Sei $\begin{eqnarray*} A c \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A \neq 0 \end{eqnarray*}$ , A nach oben beschränkt, $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ obere Schranke von A. Dann sind äquivalent:
a) x = sup a (mit $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ )
b) $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \ \exists a \in A : x-\epsilon \leq a \end{eqnarray*}$

Was bedeutet "x= sup a"? Stünde da "sup A" könnte ich das ja verstehen, aber was bedeutet das Supremum eines Elements?

17.11.2005, 20:43

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

da muss sup A stehen... sonst ist das ein Druckfehler.
mfG 20

17.11.2005, 21:11

Legion

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube zwar nicht, dass es sich da um einen Druckfehler handelt, aber "sup A" erscheint mir auch logischer.
Würde es dann für's Infimum analog heissen?
a) x = inf A
b) $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \ \exists a \in A : x+\epsilon \geq a \end{eqnarray*}$

Aber wie kann ich damit zeigen, dass x die größte untere Schranke ist?

17.11.2005, 21:19

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

du musst für jedes beliebige $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ finden, so dass die bedingung erfüllt ist.
mfG 20

17.11.2005, 21:55

Legion

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich dann nun bei meiner Aufgabe x = 0 setze, das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und das a beliebig klein, aber größer als 0 , würde das dann reichen?

17.11.2005, 21:57

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

nein. du musst ein konkretes $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ für jedes x bestimmen.
z.B.:

$\begin{eqnarray*} x_0 = \frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$

(das ist aber keine möglichkeit bei deinen aufgaben.)
mfG 20

17.11.2005, 22:45

Legion

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Hilfe, auch wenn ich leider nichts mit dem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ verstanden habe Augenzwinkern

Vielleicht finde ich morgen noch bei älteren Übungen eine Aufgabe, wo sich dieses Prinzip anwenden lässt.

17.11.2005, 22:49

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

konkret würde das x in deinem ersten fall so aussehen:

Sei $\begin{eqnarray*} \OE \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}+\frac{1}{x} >0 + \varepsilon \end{eqnarray*}$

das musst du nach x auflösen...
(hoffe, ich habe mich nicht vertan...)

dann kannst du zeigen, dass für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ dieses x zwischen 0 (der unteren Grenze) und $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ liegt.

18.11.2005, 17:35

Legion

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe einmal "versucht" mich schlau zu machen...

sei A eine Menge, dann:
Supremum:
sei a = sup A
dann: $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \ \exists x \in A : a-\epsilon \leq x \end{eqnarray*}$

analog das Infimum:
sei b = inf A
dann: $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \ \exists x \in A : b+\epsilon \geq x \end{eqnarray*}$

Nun der Versuch, das in meiner ersten Aufgabe umzusetzen:

Sei $\begin{eqnarray*} A := \{ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \mid n,m \in \mathbb N \} \end{eqnarray*}$

2 ist eine obere Schranke
sei $\begin{eqnarray*} x = \frac{2}{m} \end{eqnarray*}$
also: $\begin{eqnarray*} \frac{2}{m} \geq 2 - \epsilon \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} \frac{2}{m} \in A \end{eqnarray*}$ kann also $\begin{eqnarray*} 2 - \epsilon \end{eqnarray*}$ keine obere Schranke sein. Da $\begin{eqnarray*} 2 \geq \frac{2}{m} \end{eqnarray*}$ ist 2 die kleinste obere Schranke. Also ist es das Supremum und, da $\begin{eqnarray*} 2 \in A \end{eqnarray*}$ , ist es zugleich das Maximum.

0 ist eine untere Schranke
sei $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{m} \end{eqnarray*}$
also: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} \leq \epsilon \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} \in A \end{eqnarray*}$ kann also $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ keine untere Schranke sein. Da $\begin{eqnarray*} 0 < \frac{1}{m} \end{eqnarray*}$ ist 0 die größte untere Schranke. Also ist 0 das Infimum, aber nicht das Minimum, da es kein Element der Menge ist.

Könnte man das so gelten lassen?

Neue Frage »

Antworten »

Supremum, Infimum, Maximum, Minimum (zum x-ten Mal ;) )

Verwandte Themen