Abzählbare Menge!? |
| 17.11.2005, 13:28 | alex.pf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Abzählbare Menge!? Zeigen Sie, dass die Menge M = | \ abzählbar ist. |
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| 17.11.2005, 14:26 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
danke, dann habe ich als gegensatz einen link für dch *klick* hast du irgendwas selbst zur aufgabe zu sagen? |
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| 17.11.2005, 17:12 | alex.pf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, wir sind heut zu 8 zusammengesessen und keiner kam auf eine annehmbare Idee, die man auch schön verfassen könnte. Wir sind echt fast verzweifelt... |
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| 17.11.2005, 18:01 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
tipp: zu jeder Menge M mit |M| edlich könnt ihr eine passende M' der anderen Art finden (mit S\M'=M) und umgekehrt versucht also einfach mal nur die endlichen Mengen anzuordnen |
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| 17.11.2005, 18:44 | milky84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich hätte jetzt einfach mal frech gesagt, die Lösung der Aufgabe sei trivial. Da S nur entweder endlich oder unendlich sein kann, wenn s endlich ist, dann gilt es ja schon, steht ja in der Menge M drin wenn S aber unendlich ist, schneidet es so viele aus N raus, das N/S wieder endlich ist. N ist ja eh abzählbar (hat mal mein prof bewiesen) also ist ja auch eine Teilmenge aus N abzählbar. somit müsste auch M abzählbar sein! tät i mal sage |
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| 17.11.2005, 18:47 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
???? 1) interessant das dein prof die abzählbarkeit von IN beweist, wie habt ihr denn abzählbarkeit definiert? 2) du verdrehst da etwas M und S, kann das sein? S bzw. IN\S sind endliche teilmengen von IN, aber wie folgerst du dann für M, was die vereinigung ALLER solcher S ist? |
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| 17.11.2005, 22:26 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Verschoben |
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| 19.11.2005, 19:07 | milky84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
die Definition von Abzählbar ist laut unserem Skript: Eine Menge A heißt abzählbar, wenn sie endlich oder gleichmächtig wie N ist Und wir hatten bewiesen, das jede Teilmenge einer abzählbaren Menge abzählbar ist. hierbei geht es ja um eine Teilmenge aus N und wir hatten bewiesen, das N abzählbar ist. also ist hier auch das S abzählbar, die Frage ist nur, ist auch die Menge aller S abzählbar. dafür hatten wir noch einen weiteren beweis. Wenn A, B abzählbar sind, so ist auch AxB abzählbar, das könnte man übersetzten in, wenn S1 und S2 abzählbar sind (siehe oben) dann ist auch S1 X S2 abzählbar. Wenn wir jetzt alle S1,.....,Sunendlich kreuzen würden, wäre die Menge aller S abzählbar, also ist M abzählbar |
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| 19.11.2005, 19:17 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das ist falsch. M ist ja kein Kreuzprodukt, damit geht das also nicht. Betrachte nach LOEDs Tipp zunächst einmal . und zeige, dass diese Menge abzählbar ist. Gruß MSS |
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| 19.11.2005, 19:36 | milky84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja kann ich zeigen, indem ich sag, wenn etwas endlich ist, dann ist es auch automatisch abzählbar, oder???? da die Mengen Sk möglicherweise nicht paarweise disjunkt sind definiere ich einfach mal Bo=S0 B1=S1\So B2=S2\(S1 U S0) => Bn=An\ [Vereinigung aller Ak für k=0 bis k=(n-1)] Da An, abzählbar ist, also die einzelne Menge, und Bn eine Teilmenge aus An ist, sind auch die Mengen B abzählbar |
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| 19.11.2005, 19:41 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wieviele seiten hat dein prof denn für diesen beweis (dass N gleichmächtig wie N ist) gebraucht? tschuldigung konnte ich mir nicht verkneifen zu deinem beweis: ich verstehe ihn nicht, zumal du nicht davon ausghen darfst, dass du deine menge schreiben darfst als M={S_0,S_1,...}, denn das ist ja äquivalent mit S abzählbar |
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| 19.11.2005, 19:43 | milky84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hab da wohl noch was vergessen, Die Mengen B sind ja jetzt einfach nur disjunkt zueinander zu beweisen wäre dann noch , das die Vereinigung aller Bk abzählbar wäre, wer kann mir jetz noch weiter helfen sorry, aber ich versteh nicht was daran so komisch ist, N ist abzählbar, so lernen wir das zumindest, steht ja so in unserer Definition, oder leß ich das falsch edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS) |
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| 19.11.2005, 19:56 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
es geht hier nicht darum, zu zeigen, dass die mengen S abzählbar sind du sollst zeigen, dass M' abzhlbar ist nach welchem prinzip könntest du das denn anordnen? tipp: versuche M' als abzählbare vereinigung abzählbarer mengen darzustellen |
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| 19.11.2005, 20:12 | milky84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich könnte sagen, M'= Sk so in etwa??? |
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| 19.11.2005, 20:13 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
was ist denn nun schon wieder n? und was genau ist S_k? mfg jochen ps: stichwort kardinalitäten gebe ich dir noch mal mit auf den weg |
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| 19.11.2005, 20:20 | milky84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es gibt ja die Mengen S Sk, steht für eine dieser Mengen mit dem Index k der index k liegt zwischen i=0 und n die vereinigung aller Sk ergibt dann die Menge M' wär jetzt mal meine Idee gewesen edit:wenn ich davon ausgehe, das sie abzählbare Mengen alle paarweise disjungt sind dann währe die Menge aus allen dieser Mengen ja IN odeR??? |
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| 19.11.2005, 20:31 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
du hast mir immer noch nicht gesagt, woher du weißt, dass es S_k gibt, dass du also jeder dieser mengen einen index zuordnen kannst ohne mengen zu vergessen dass geht nämlich bei überabzählbaren mengen nicht und was das n ist, hast du auch noch nicht gesagt nichts destotrotz sieht deine letzte menge sogar ziemlich endlich aus (für alle n aus IN), M' ist das aber nicht. edit ich verstehe dein problem du bildest nicht die vereinigung der mengen für M', sondern die S-mengen sind die ELEMENTE von M's |
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| 19.11.2005, 20:36 | milky84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
und wie kann ich dann eine Menge bilden, so wie ihr das meint das mit dem index nehm ich daraus, das ich ja sage, das S ja endlich sein soll. also ist die Menge aller paarweise disjunkten endlichen mengen auch endlich, oder liege ich da falsch |
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| 19.11.2005, 21:11 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
da ist gar nix paarweise disjunkt aber auch paarweise disjunkte endiche teilmengen von IN gibts unendlich viele also noch mal ein tipp: sortiere die mengen doch mal nach ihren kardinalitäten |
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| 20.11.2005, 10:12 | milky84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
da gibt es doch wieder von jedem unendlich viele wen ich mir so denk, für Card S=1 gibt , dann soll ich alle S zusammenschmeißen, die card=1 haben. Sie sind ja nicht wirklich begrenzt, also die Anzahl der S mit card=1. Die Menge S ansich soll ja begrenzt sein, aber nicht die Anzahl der Mengen oder? Oder sind die Mengen aller endlichen Mengen begrenzt??? Wenn man es logisch betrachtet schon odeR? edit: nochmal ein ansatz, Wenn ich die Menge M' so betrachte, dann kann ich doch sagen M' ist entweder endlich oder M'~IN, was beides laut definition dann abzählbar wäre.... EDIT die 3. also ich hab das ganze jetzt einfach mal gelöst, und zwar so. Bitte alle Trugschlüsse aufschreiben. Ich teile M einfach mal auf und zwar in M' und M'' M'={S C IN | S endlich} Als vorraussetzung, das eine Menge abzählbar ist hatten wir, entweder ist die Menge endlich oder die Menge steht in relation zu IN... M' lässt sich ja auch darstellen mit Vereinigung. M'= U 0<=k<=n Sk blöd zum darstellen, gemeint ist die Vereinigung aller Sk(gemeint nur endliche S) mit dem index k, der sich zwischen 0 und n bewegt, wobei n entweder kleiner als unendlich ist, oder gleich. 1. Fall n sei kleiner als unendlich => die Menge aller Sk ist endlich, also ist die Menge aller SK abzählbar, das wäre ja dann auch M', somit M' erst mal abzählbar 2. Fall n ist gleich unendlich => jetzt kommt eventuell ein Trugschluß, kann ich dann sagen, wenn n gleich unendlich ist, das dann M' ~IN steht???? was ja auch wieder heißen würde, M' wäre abzählbar????? Also erstmal nur soviel zu M'.... mit M'' also ={S C IN | IN\S endlich} hab ich mich noch nicht so beschäftigt, hoffe es wird so ähnlich. Ich hoffe ich bekomm ein feedback, das das stimmt. |
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| 20.11.2005, 13:49 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
was soll denn das immer heißen? und ich frage schon wieder, was eine menge S_k (z.b. eine menge S_3) sein soll? ohne das du das sagst kann ich zu deinem 3. vorschlag nichts sagen
NEIN, aber es gibt genau so viele einelementige mengen wie es natürliche zahlen gibt ({1},{2},....) die menge, die alle einelementigen mengen aus M' enthält ist also abzählbar |
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| 20.11.2005, 14:03 | milky84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
klar, genau das selbe gilt auch für alle andern mengen, mit 2 elementen, oder aber auch für <unendlich große mengen, wenn ich aber alle diese card =1-> fast unendlich zusammennehme, hab ich doch auch wieder unendlich, oder ist diese dann abzählbar??? M~IN heißt, das M in relation zu IN ist, bzw. M gleichmächtig ist wie IN Sk ist einfach eine bestimmte Menge der vielen Mengen S aus M' bzw. M'' S3 ist von mir aus die menge mit der kardinalität 1 und dem Element {3} oder so |
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| 20.11.2005, 14:09 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
dann gehst du oben viel zu leicht mit M~IN um. du stellst das immer ohne jede beründung in den raum. das alle n-elementigen mengen abzählbar sind, das musst du noch zeigen! danach hast du für jede natürliche zahl eine abzählbare menge (nämlich die menge, die alle natürlichen teilmengen mit n elementen hat) M' ist gerade die vereinigung dieser mengen. was gilt für die vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren mengen? dann musst noch M'' betrachten, tipp dazu steht oben edit:
bedenke, dass du aber nur alle S duchnumerieren kannst, wnn M' abzählbar ist! |
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| 20.11.2005, 14:14 | milky84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn ich davon ausgehe die größte Menge wäre ja dann IN, zu jedem Element gibt es wieder IN andere. dann wäre doch das ganze IN X IN, was abzählbar ist... also ist dann M'=IN x IN also abzählbar??? ;_) |
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| 20.11.2005, 14:25 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
eben nicht alle S sind endlich! es gibt keine größte menge.....
das ist barer unsinn ich hab doch oben schon skizziert, wie du vorgehen musst betrachte: M_i=Menge aller IN-teilmengen mit cardinalität i betrachte: unendliche vereinigung aller dieser mengen |
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| 20.11.2005, 14:39 | milky84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
da die M_i ja abzählbar ist, ist auch die vereinigung aller dieser M_i abzählbar... |
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