Ungleichung, Konvergenz einer komplexen Folge beweisen

17.11.2005, 17:30	Carolin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung, Konvergenz einer komplexen Folge beweisen Hallo! Ich komme bei einigen Aufgaben nicht weiter... vielleicht kann die ja jemand?! Beweise für alle n € N gilt (n/3)^n < gleich n! Bestimme den Grenzwert der Folgen in C lim n^k/z^n für alle k aus N0, z aus C mit Betrag z > 1 Hätte wohl noch mehr Aufgaben... aber vielleicht helfen mir die Lösungen von den beiden ja, so dass ich die restlichen alleine schaffe?! Danke für eure Hilfe! Carolin edit: Titel geändert, bitte wähle einen aussagekräftigen Titel! (MSS)
17.11.2005, 19:53	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
das erste geht mit vollständiger induktion, schreib mal deinen ansatz hin. mfG 20
17.11.2005, 22:37	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Für das zweite siehe hier und auch hier. Gruß MSS
17.11.2005, 23:04	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein weiterer Hinweis zur ersten Ungleichung: Mit dem gleichen Aufwand lässt sich das etwas schärfere $\begin{eqnarray} \left( \frac{n}{e} \right)^n \leq n! \end{eqnarray}$ (also $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ im Nenner) nachweisen.
17.11.2005, 23:22	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann sogar $\begin{eqnarray} \operatorname e\left(\frac{n}{\operatorname e}\right)^n\leq n! \end{eqnarray}$ beweisen. Dabei hilft z.B. das. Gruß MSS
23.11.2005, 00:50	The_Lion	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimme den Grenzwert der Folgen in C lim n^k/z^n für alle k aus N0, z aus C mit Betrag z > 1 : Ich habe bisher folgendes: Vermutung lim $\begin{eqnarray} \frac{n^k}{z^n}=0 \end{eqnarray}$ Beweis: a_n := $\begin{eqnarray} \frac{n^k}{z^n} \end{eqnarray}$ Betrachte $\begin{eqnarray} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray}$ und zeige: es gibt q € R+ ,q<1 und es gibt n_0 fürAlle n >= n_0 $\begin{eqnarray} \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq q \end{eqnarray}$ , also zeige a_n ist mon. fallend. $\begin{eqnarray} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^k}{z^{n+1}}\frac{z^n}{n^k}=\frac{(n+1)^k}{z}\frac{1}{n^k}=\frac{1}{z}\frac{(n+1)^k}{n^k} \end{eqnarray}$ wie mache ich nun weiter ich glaube meine Vermutun, dass der Limes = 0 ist, ist falsch. Ich korrigiere also: Limes ist 1/z, ist das korrekt ? 1/z ist ja konstant, aber <1, da \|z\|>1 ist. und $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)^k}{n^k} \end{eqnarray*}$ geht gegen 1.
Anzeige

23.11.2005, 20:47	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Grenzwert von $\begin{eqnarray} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray}$ , von dem du vermutest, dass er $\begin{eqnarray} \frac{1}{z} \end{eqnarray}$ ist, hat nichts mit dem Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}a_n \end{eqnarray}$ zu tun. Zunächst musst du hier den Betrag betrachten, da wir uns in den komplexen Zahlen bewegen. Und dann steht eigentlich schon fast alles in den Links. Finde also eine Zahl $\begin{eqnarray} q\in (0,1) \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \left\|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\|\leq q \end{eqnarray}$ ist. Gruß MSS
23.11.2005, 23:03	The_Lion	Auf diesen Beitrag antworten »
stimm, ich hab mich total verirrt. a_n+1 / a_n sagt ja lediglich , ob monoton fallend oder wachsend.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »