Stammfunktion

17.11.2005, 19:35

Gioiello

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Stammfunktion

Ich muss die Stammfunktion zu f angeben von:
$\begin{eqnarray*} a) f(x)=2e^{3x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b) f(x)=e^{2-x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c) f(x)=5e^{4x-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d) f(x)=\frac{e^{2x}-1}{2e^{x^2}} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht wie man die Stammfunktionen für e-Funktionen berechnet.
Bräuchte eure Hilfe.
Danke schon mal im Vorraus

17.11.2005, 19:38

JochenX

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Zitat:

Ich weiß nicht wie man die Stammfunktionen für e-Funktionen berechnet.

na du weißt, was die integration der e-funktion ist?
weißt du, wie man sowas bei verketteten funktionen berechnet?

wo ist das problem?

was ist eigenlich $\begin{eqnarray*} e^{x^2} \end{eqnarray*}$
ist das $\begin{eqnarray*} e^{(x^2)} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (e^x)^2 \end{eqnarray*}$ ?

17.11.2005, 19:44

Gioiello

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??

verwirrt

Hilfe

Ich hab bis jetzt noch nie vorher Aufleitungen für solche Funktionen gemacht.
Wie macht man denn z.B. für a) die Stammfunktionen.
Bei "normalen" gleichungen haben wir ja exponent+1 genommen, und dann den ganzen exponenten durch den koeffizient geteilt, aber wie man macht das mit diesem e. hier kann ich doch nicht einfach +1 nehmen, stimmts?! oder geht das doch so?

ups da soll kein hoch 2 hin, sorry
so ist das richtig --> $\begin{eqnarray*} \frac{e^{2x}-1}{2e^x} \end{eqnarray*}$

17.11.2005, 20:10

20_Cent

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nein.
das tolle an der exponential funktion mit der basis e ist:
sie reproduziert sich selber, beim ableiten und beim integrieren.

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^x => f'(x) = e^x \end{eqnarray*}$

mfG 20

17.11.2005, 20:15

lego

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am besten wird wohl sein du versuchst bei allen beispielen den exponenten zu substituieren.

17.11.2005, 20:17

Gioiello

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und das heißt? könnt ihr mir das vllt. genauer an einem beispiel sagen?

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17.11.2005, 20:19

20_Cent

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wenn du die Stammfunktion von

$\begin{eqnarray*} 2e^{3x} \end{eqnarray*}$

berechnen sollst, dann über leg einfach mal, was abgeleitet genau das ergibt, wie gesagt, die e-funktion bleibt beim ableiten gleich.
(achtung: verkettung)
mfG 20

17.11.2005, 20:22

Gioiello

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das f(x)=f'(x) von e^x ist, das weiß ich aber $\begin{eqnarray*} e^{3x} \end{eqnarray*}$ bleibt abgeleitet doch nicht $\begin{eqnarray*} e^{3x} \end{eqnarray*}$ das wird doch zu $\begin{eqnarray*} 3*e^{3x} \end{eqnarray*}$ und ich muss ja nicht ableiten, sondern aufleiten... traurig

traurig

17.11.2005, 20:23

20_Cent

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eben... jetzt überleg dochmal, wie schaffst du es, dass die 3, die ja beim wiederableiten entstehen würde, wegfällt.
mfG 20

17.11.2005, 20:27

Gioiello

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entweder stehe ich gerade aufm schlauch oder ich verstehe Dich nicht verwirrt

verwirrt

meinst du jetzt wie die 3 bei $\begin{eqnarray*} 3*e^{3x} \end{eqnarray*}$ wegfällt? in dem ich mal 1/3 nehme oder durch 3 teile *lol*

17.11.2005, 20:28

20_Cent

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genau

Augenzwinkern

fertig.
schreib mal hin.
mfG 20

17.11.2005, 20:29

JochenX

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Zitat:

Original von Zoey
in dem ich mal 1/3 nehme oder durch 3 teile *lol*

nix lol, allgemein gilt: ist f(g(x)) eine verkettete funktion mit LINEARER innenfunktion (also f(ax+b)) so integrierst du die äußere funktion und nimmst sie mal 1/innere ableitung

deine aussage ist also richtig, efunktion aufleiten (sorry an die boardgemeinde) durch "stehenlassen" und noch mal 1/innere ableitung

versuchs mal

17.11.2005, 20:33

Gioiello

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hä, das war richtig?! wie jetzt ?
heißt es das ich beim aufleiten, einfach die zahl (ableitung) vom exponenten nehme, und diese durch den koeffizienten der vor dem e steht teilen muss? so einfach kann das Aufleiten nicht sein .... verwirrt

verwirrt

uii....endlich hab ich mal was richtiges gesagt und das in MATHEMATIK, das ist doch mal ne leistung Augenzwinkern

Augenzwinkern

sorry ich schreib mist, stimmts, soll ich nicht, ich weiß...

siehe LOED, er formuliert das mathematischer *gg* ich muss das auch mal lernen
ich hab zwar jetzt das da oben gesagt, aber ob ich das jetzt bei den 4 aufgaben anwenden kann, ist ne andere frage .... ich probiers mal

17.11.2005, 20:35

20_Cent

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naja, im prinzip ist das bei den e-funktionen ganz einfach, du musst dir überlegen, was abgeleitet das ergibt, was da steht. also ales, was zu viel ist, musst du irgendwie "loswerden" Augenzwinkern

Augenzwinkern

mfg 20

17.11.2005, 20:36

Gioiello

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ist wohl leicht gesagt als getan Augenzwinkern

Augenzwinkern

bitte nicht verschwinden, ich mach das mal schnell für diese 4 aufgaben und ihr müsst mir sagen, ob das richtig ist, weil ichmir sicher bin, dass ich in 2 min wieder tausende von fragen stelle

17.11.2005, 20:52

Gioiello

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Lösungen:
$\begin{eqnarray*} a) F(x)=\frac{2}{3}*e^{3x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) F(x)=-e^{2-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) F(x)=\frac{5}{4}*e^{4x-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d) \frac{1*e^{2x-1}}{4e^x} \end{eqnarray*}$

sind die richtig?
d ist bestimmt falsch...

17.11.2005, 20:54

20_Cent

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die ersten drei sind richtig.
sag bitte mal , was du bei der d) in der aufgabenstellung meinst,

$\begin{eqnarray*} e^{(x^2)} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} {(e^x)}^2 \end{eqnarray*}$

mfG 20

17.11.2005, 20:59

Gioiello

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hatte es danach korrigiert, da soll kein hoch 2 hin, das sollte so heißen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{e^{2x}-1}{2e^x} \end{eqnarray*}$
und hier nochmal meine mögliche lösung für d, ich hab selbst falsch gelesen Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{e^{2x}-1}{4e^x} \end{eqnarray*}$ ist auch falsch stimmts?

17.11.2005, 21:02

20_Cent

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ja, falsch.
löse den bruch auf, indem du den zähler auseinanderziehst und zwei brüche draus machst. dann kannst du kürzen und beide einzeln integrieren.
mfG 20

17.11.2005, 21:05

Gioiello

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meinst du so:
$\begin{eqnarray*} \frac{e^{2x}}{2e^x} - \frac{1}{2e^x} \end{eqnarray*}$ und nun? kürzen, wie?

17.11.2005, 21:07

20_Cent

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rechts kann du schon integrieren $\begin{eqnarray*} 1/(...) = {(...)}^{-1} \end{eqnarray*}$

links musst du potenzgesetze anwenden...
mfG 20

17.11.2005, 21:14

Gioiello

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ich verstehe das nicht bei brüchen
$\begin{eqnarray*} -\frac {1}{2e^x} \end{eqnarray*}$ ist doch dasselbe wie $\begin{eqnarray*} -2e^{-x} \end{eqnarray*}$ oder? und wenn ich das aufleite ist das $\begin{eqnarray*} 2e^{-x} \end{eqnarray*}$ falsch? richtig?

17.11.2005, 21:16

20_Cent

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das ist richtig.
außerdem gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{2x}}{2e^x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =1/2 * \frac{{(e^x)}^2}{e^x} \end{eqnarray*}$

mfG 20

17.11.2005, 21:19

Gioiello

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wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \frac{(e^x)^2}{e^x} \end{eqnarray*}$

17.11.2005, 21:20

20_Cent

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das ist ein potenzgesetz:

$\begin{eqnarray*} a^{(bc)} = {(a^b)}^c = {(a^c)}^b \end{eqnarray*}$

mfG 20

17.11.2005, 21:23

Gioiello

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hmm....ich hasse allgemeinformulierungen Big Laugh

Big Laugh

naja, ich weiß aber immer noch nicht wie ich diesen bruch aufleiten muss.... verwirrt

verwirrt

kann es sein dass sich das gar nicht verändert? (nee das kann nicht sein, stimmst?! *g*)

17.11.2005, 21:25

20_Cent

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wenn du das laut diesem potenzgesetz umformst, dann kannst du $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ einmal kürzen. es gibt auch noch ein anderes potenzgesetz, mit dem man sofort dahin kommt, vielleicht ist dir das lieber:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^b}{a^c} = a^{(b-c)} \end{eqnarray*}$

mfG 20

PS: Jetzt siehst du auch, was sich beim integrieren ergibt, nachdem du gekürzt hast...

17.11.2005, 21:27

Gioiello

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ja das ist mir lieber...
bleibt da aufgeleitet auch 1/2*e^x übrig?? weil e^x bleibt ja bei auf- und ableitungen

17.11.2005, 21:30

20_Cent

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Zitat:

Original von Zoey
ich verstehe das nicht bei brüchen
$\begin{eqnarray*} -\frac {1}{2e^x} \end{eqnarray*}$ ist doch dasselbe wie $\begin{eqnarray*} -2e^{-x} \end{eqnarray*}$ oder? und wenn ich das aufleite ist das $\begin{eqnarray*} 2e^{-x} \end{eqnarray*}$ falsch? richtig?

hier war noch ein fehler, hab ich übersehen. die 2 musst du im nenner stehen lassen, im zähler wäre das $\begin{eqnarray*} 2^{-1} \end{eqnarray*}$ ...

$\begin{eqnarray*} \frac{e^x}{2} \end{eqnarray*}$

ist richtig.

mfG 20

PS: also zusammen: $\begin{eqnarray*} \frac{e^x}{2} + \frac{e^{-x}}{2} \end{eqnarray*}$

17.11.2005, 21:41

Gioiello

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das kann ich auch so machen oder?
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2e^x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =-\frac{1}{2} * \frac{1}{e^x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}*e^{-x} \end{eqnarray*}$
usw.
ist mir verständlicher

17.11.2005, 21:43

20_Cent

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klar, das ist ok so.
mfG 20

17.11.2005, 21:45

Gioiello

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DANKE für deine super Hilfe Mit Zunge

Mit Zunge

vielleicht komme ich in den nächsten tagen wieder mit aufgaben Big Laugh

Big Laugh

bis dann

Augenzwinkern

ich geh nun essen
schönen abend & gute nacht
Wink

Wink

17.11.2005, 21:46

20_Cent

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kein problem, dir auch noch nen schönen abend. smile

smile

mfG 20

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