Vollständige Induktion

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mess Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion
hi,

habe hier einen kleinen Hänger bei einer Aufgabe und zwar komme ich ab dem Punkt nicht mehr weiter:

Aufgabe: Beweisen Sie durch vollständige Induktion:

n element N und reellen Zahlen x1>0...xn>0 gilt:

(x1+...+xn)*(1/x1+...+1/xn >= n(quadrat)


Ich habe es soweit gemacht

IA: n=1 x1*(1/x1) >= 1(quadrat) -> stimmt, OK

IS: n=n+1

zu zeigen (x1+...+x(n+1))*(1/x1+...1/x(n+1)) >=(n+1)(quadrat)
(x1+...+x(n+1))*(1/x1+...1/x(n+1)) >=n(quadrat)+2n+1

Hier kam ich nicht mehr weiter, weswegen ich ein Beispiel gemacht habe: (besser gesagt mal ausfürlich gerechnet)

x(n-1)/x(n-1) + x(n-1)/xn + x(n-1)/x(n+1) + xn/xn + xn/x(n-1) + xn/x(n+1) + x(n+1)/x(n+1) + x(n+1)/xn + x(n+1)/x(n-1) >= n(quadrat)+2n+1

danach:


x(n-1)/x(n-1) + x(n-1)/xn + x(n-1)/x(n+1) + xn/xn + xn/x(n-1) + xn/x(n+1) + x(n+1)/x(n+1) + x(n+1)/xn + x(n+1)/x(n-1) >= n(quadrat)+2n+1

Die fettgedruckten Divisionen werden zur 1 und addiert. Die Summe ergibtimmer n...

Dann haben wir:

n + ????? >= n(quadrat)+2n+1



UND HIER HÄNGT ES....
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte im Induktionsschritt aus der ersten Klammer und aus der zweiten Klammer ausklammern. Mit den Abkürzungen



gilt dann:





Multipliziere die Klammer aus und wende auf die Induktionsvoraussetzung an (das ist erlaubt, weil beide Faktoren das vorgeschriebene Muster haben: die Summanden von sind die Kehrwerte der Summanden von ).

Jetzt mußt du nur noch beweisen. Dann kannst du alles zusammensetzen und bist fertig.

Aber besteht nach Umgruppierung aus Summanden vom Typ

mit

Es fehlt also nur noch zu zeigen, warum stets gilt. Das ist dann nicht mehr schwer.
mess Auf diesen Beitrag antworten »

war dann mein Ansatz irgendwie falsch ???

Oder kann man es einfach mit meinemAnsatz gearnicht rechnen??
mess Auf diesen Beitrag antworten »

*schieb*
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht setzt sich keiner mit deinem Weg auseinander, weil eine Zeile wie

Zitat:
Original von mess
x(n-1)/x(n-1) + x(n-1)/xn + x(n-1)/x(n+1) + xn/xn + xn/x(n-1) + xn/x(n+1) + x(n+1)/x(n+1) + x(n+1)/xn + x(n+1)/x(n-1) >= n(quadrat)+2n+1

einfach "unmöglich" ist, d.h., unheimlich schwer lesbar. Vielleicht solltest du es doch mal mit LaTeX versuchen - kannst ja mal Leopolds Beitrag da als Grundlage nehmen.
mess Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

habe hier einen kleinen Hänger bei einer Aufgabe und zwar komme ich ab dem Punkt nicht mehr weiter:

Aufgabe: Beweisen Sie durch vollständige Induktion:

n element N und reellen Zahlen gilt:




Ich habe es soweit gemacht

IA: n=1 -> stimmt, OK

IS: n=n+1

zu zeigen

Hier kam ich nicht mehr weiter, weswegen ich ein Beispiel gemacht habe: (besser gesagt mal ausfürlich gerechnet)



danach:




Die ersten drei Divisionen werden zur 1 und addiert. Die Summe ergibt immer n...

Dann haben wir:





UND HIER HÄNGT ES....
 
 
mess Auf diesen Beitrag antworten »

*schieb*

war dann mein Ansatz irgendwie falsch ???

Oder kann man es einfach mit meinemAnsatz gearnicht rechnen??
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal ist ein "Beispiel" kein Beweis. Du kannst also nicht ein "Beispiel" machen und dann dieses "Beispiel" urplötzlich in eine allgemeine Überlegung als logische Tatsache einfließen lassen.

Das ist ja fast, wie wenn ein Physiklehrer einem Anfänger den Stromkreislauf anhand des Wasserkreislaufes veranschaulicht und dann der Schüler das so versteht, als müsse er nur Wasser in die Steckdose gießen, dann würde die Stromstärke schon steigen.

Natürlich spricht gar nichts gegen ein Beispiel, wenn man die Struktur einer Sache besser begreifen will. Man muß irgendwann aber von diesem Beispiel weg und die allgemeine Situation dahinter aus ihm abstrahieren.

Und was willst du mit deinem Beispiel? Sehe ich das richtig, daß du den Term



ausmultiplizierst? Dann behandelst du praktisch den Sonderfall , und du könntest genau so gut



betrachten. Deine Numerierung statt bringt nicht mehr Licht in das Dunkel, sondern läßt im Gegenteil die Wahrheit im Nebel verschwinden. Insbesondere kannst du das dann nicht mit nach unten abschätzen, sondern müßtest nachweisen, daß dies größer gleich ist (denn du behandelst den Spezialfall ). Und das darfst du dann auch nicht voraussetzen, sondern du mußt es beweisen.

Kurzum: Ich durchschaue dein Vorgehen nicht.
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