Körper GF(4)

18.11.2005, 22:42

FeLiXe

Körper GF(4)

Hallo!

Könnte mir jemand sagen, wie der Körper GF(4) definiert ist. Im meinem Skript steht nichts und ich habe im Internet auch nichts gefunden. Bräuchte ihn aber für eine Aufgabe.

danke

18.11.2005, 23:11

therisen

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Das ist auch ein veralteter Begriff. http://de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_K%C3%B6rper

Gruß, therisen

18.11.2005, 23:25

Leopold

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Die einfachste Konstruktion ist die folgende: Du gehst aus vom Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ mit zwei Elementen $\begin{eqnarray*} 0,1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt nimmst du ein nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ liegendes Objekt $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ und bildest die formalen Summen $\begin{eqnarray*} u = a+jb \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ . Nennen wir einmal $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ den Realteil von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ den Imaginärteil von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ . Mit diesen Ausdrücken rechnest du naiv, ganz wie mit komplexen Zahlen. Beim Addieren und Subtrahieren werden jeweils Real- und Imaginärteile zusammengefaßt, beim Multiplizieren rechnest du distributiv unter Beachtung der Regel $\begin{eqnarray*} j^2 = 1 + j \end{eqnarray*}$ . Und das ist der Unterschied zu den komplexen Zahlen (dort ist ja $\begin{eqnarray*} j^2=-1 \end{eqnarray*}$ ).

Du kannst ja einmal Tafeln für die Addition und Multiplikation der vier Elemente aufstellen und nachweisen, daß tatsächlich ein Körper vorliegt. Es ist ein Oberkörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ mit vier Elementen.

18.11.2005, 23:32

Leopold

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Zitat:

Original von therisen
Das ist auch ein veralteter Begriff. http://de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_K%C3%B6rper

Gruß, therisen

Was man hier als veraltet empfindet und was nicht, darüber kann man durchaus geteilter Auffassung sein. Man muß sich ja nicht immer und überall dem amerikanischen Kulturimperialismus unterwerfen. Ich amüsiere mich jedenfalls, wenn ich deutsche Mathematiker (meistens jüngere) höre: " der Körper F". Aber vielleicht ist das auch der Lauf der Zeit: Sagten früher die Amerikaner "the field K", so sagen heute die Deutschen "der Körper F". Bis auf mich und einige Unverbesserliche. Die sagen weiterhin: "der Körper K".

19.11.2005, 13:52

FeLiXe

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ah, danke bin irgendwie nicht draufgekommen, dass GF für Galoisfeld steht

das hab ich natürlich auch im Skript. dann schau ich mal, wie die 3 definitionen zusammenhängen.

---

Körper K würd ich auch sagen

aber ich würde niemals die Kraft mit K bezeichnen, sondern mit F, und dafür die Fläche mit A, ...

für mich als normalerweise nicht "pure mathematician" stellt sich diese Frage häufiger

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