gaussche normalverteilung

19.11.2005, 12:25	xole_X	Auf diesen Beitrag antworten »
gaussche normalverteilung hi kann mir jemand die gaussche normalverteilung (die formell) erklären. Ich weiss, dass sie eine Annäherung ist man sie bei Abweichungsaufgaben nimmt. Sowie der Erwartungswert ist hundert, es weicht aber um +-10 aus... Im Buch steht immer irgendwas mit intergrieren und ehochx und so erklärt sich das...das raff ich nicht. ich hab auch gegoogelt. da steht auch immer was mit intergrieren und irgendwelchen grafen. Was sind denn diese +0,5 und -0,5? manchmal darf man das weg lassen, bei kleinen zahlen aber nicht... ich kann selber nicht diese formell auseinandernehmen, aber irgendwie stur anwenden schon. Ich will sie aber verstehen, damit ich auch weiß was ich da rechne.
19.11.2005, 13:27	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Oje, das ist ja ein schlimmes Durcheinander, das aus deinen Formulierungen abzulesen ist, ich will da im Moment gar nicht die Einzelheiten zerpflücken. Normalerweise würde ich erstmal http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung empfehlen, aber dir fehlt wohl entweder die Geduld oder die Fähigkeit, Wesentliches aus diesem wirklich gelungenen Artikel zu abstrahieren: Eine Zufallsgröße $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ mit der Dichte $\begin{eqnarray} \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} ~ e^{-\frac{x^2}{2}} \end{eqnarray}$ heißt standardnormalverteilt. Es handelt sich also um eine stetige Zufallsgröße, die zugehörige Verteilungsfunktion ist $\begin{eqnarray} \Phi(x) = P(Z<x) = \int\limits_{-\infty}^x ~ \varphi(t) ~ \mathrm{d}t = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} ~ \int\limits_{-\infty}^x ~ e^{-\frac{t^2}{2}} ~ \mathrm{d}t \end{eqnarray}$ . Das ist dann wohl das Integral, von dem du dich schrecken lässt. Die Integraldarstellung ist leider unumgänglich, denn dieses $\begin{eqnarray} \Phi(x) \end{eqnarray}$ lässt sich leider nicht mit gewöhnlichen Funktionen, die du aus der Schule her kennst, darstellen. Aber keine Angst, bei konkreten Rechnungen brauchst du die Integraldarstellung ja gar nicht, sondern nur irgendeine Möglichkeit, dieses $\begin{eqnarray} \Phi(x) \end{eqnarray}$ für vorgegebene $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ zu bestimmen. Das kann über Tabellen in Tafelwerken geschehen (früher die einzige Möglichkeit) oder aber man hat einen fähigen Taschenrechner, der diese Funktion bereits integriert hat - weiß nicht, wie das bei dir ist. Dann zu den +-0.5, von denen du sprichst: Es geht hier sicher um eine binomialverteilte Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X\sim B(n,p) \end{eqnarray}$ . Für große $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ und geeignete $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ (meist fordert man $\begin{eqnarray} np(1-p)>9 \end{eqnarray}$ ) kann man nun Wahrscheinlichkeiten für $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ näherungsweise durch die Normalverteilung berechnen. Dazu nutzt man, dass $\begin{eqnarray} \frac{X-\mu}{\sigma} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mu = np \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma = \sqrt{np(1-p)} \end{eqnarray}$ näherungsweise standardnormaverteilt ist. Für ganzzahlige $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ kann man dann berechnen $\begin{eqnarray} P(X\leq b) \approx \Phi\left( \frac{b+0.5-\mu}{\sigma} \right) \end{eqnarray}$ . Für Intervallwahrscheinlichkeiten bedeutet das dann wegen $\begin{eqnarray} P(a\leq X\leq b) = P(X\leq b)-P(X<a) = P(X\leq b)-P(X\leq a-1) \end{eqnarray}$ eben $\begin{eqnarray} P(a\leq X\leq b) \approx \Phi\left( \frac{b+0.5-\mu}{\sigma} \right)-\Phi\left( \frac{a-0.5-\mu}{\sigma} \right) \end{eqnarray}$ . Auch hier müssen $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ ganze Zahlen sein. Manchmal findet man auch Darstellungen, die dieses +0.5 weglassen. Das ist dann eben eine andere Näherung, die aber meist von schlechterer Qualität ist, als die oben dargestellte - d.h., der Fehler ist größer als bei der Variante mit den +0.5. Ein aktuelles Beispiel hier im Matheboard für den Unterschied beider Näherungen siehst du hier: 400 buchungen 360 betten

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