Integralrechnung dringend!

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AnnePopanne Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung dringend!
Durch Fk mit Fk(x)=(x-k)² sei eine Parabelschar gegeben. Für welches k mit 0<k<4 hat die Flähe unter dem Grapen von fk über dem Intervall I=[0;4] den kleinsten Inhalt?

Bitte helft mir! wie komme ich auf die Flächeninhaltsfunktion?!
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung dringend!
Zitat:
Original von AnnePopanne
Durch Fk mit Fk(x)=(x-k)² sei eine Parabelschar gegeben. Für welches k mit 0<k<4 hat die Flähe unter dem Grapen von fk über dem Intervall I=[0;4] den kleinsten Inhalt?

Bitte helft mir! wie komme ich auf die Flächeninhaltsfunktion?!


sollen die roten F's auch kleine f's sein?
hast du schon irgendwelche ideen?
wie berechnet man die Fläche unter dem Graphen im allgemeinen?
mfG 20
AnnePopanne Auf diesen Beitrag antworten »

ja sollen kleine f sein.. keine idee
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

die fläche unter dem Graphen berechnet man, indem man über das Intervall, das gegeben ist, integriert. Allerdings muss man teile ,die unterhalb der x-Achse liegen, betragsmäßig eingehen lassen. Rechne also zuerst aus, wo der Graph unterhalb der x-Achse liegt, bzw. ob er das überhaupt irgendwo tut.
mfG 20
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Okey, die Fläche unter einem Graphen im Intervall [a;b] errechnet sich allgemein mit




Jetzt solltest du aber wesigstens zum Teil selber drauf kommen
Stammfunktion bilden, kannst du doch wohl?


edit: zu spät smile



Gruß, mercany
AnnePopanne Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube es steht schon fest, dass ´sie stetig ist und nicht-negativ, also im ersten Quadranten
 
 
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

so ist es. na, dann integriere erstmal, den kleinsten Flächeninhalt errechnest du, indem du die Funktion für die Fläche (abhängig von k) minimierst.
mfg 20
AnnePopanne Auf diesen Beitrag antworten »

ich hätte es so gedacht, dass es dann sowas wie eine extremwertaufgabe ist, dass ich die erste ableitung der flächeninhaltsfunktion nehme (ist ja die normale funktion) und dann k damit ausrechne (wenn ich für x 4 einsetze)...und dann mit er 2. ableitung rauskriege ob es hochpunkt oder tiefpunkt ist....
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

vorsicht, du musst die obere und die untere grenze beim integrieren einsetzen, und die voneinander abziehen. Also musst du schon integrieren und nicht einfach die gleiche funktion benutzen.
mfG 20

PS: Ja, es ist sowas wie eine Extremalaufgabe und du musst auch die erste ableitung der flächeninhaltsfunktion nehmen...
AnnePopanne Auf diesen Beitrag antworten »

was muss ich denn integrieren?!
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »



du brauchst ja die fläche unter der funktion im intervall ...
mfG 20
AnnePopanne Auf diesen Beitrag antworten »

wir haben diese "schwere" schreibweise noch nicht gelernt
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

schwere schreibweise?
das bedeutet nur, dass du die Stammfunktion von bestimmst, dann die obere und die untere Grenze einsetzt, und den Term mit der unteren von dem mit der oberen abziehst.
mfG 20
AnnePopanne Auf diesen Beitrag antworten »

puhhhh das hatten wir so genau noch nicht glaube
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

aber die Stammfunktion von kannst du ausrechnen, oder?
mfG 20
AnnePopanne Auf diesen Beitrag antworten »

nein...aber die aufgabe kommt im buch vor dem kapitel der stammfunktionen...kann man das nicht noch anders rechnen?
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

so weit ich weiß nicht.
die fläche unter einer parabel berechnet man schließlich mit der Stammfunktion...
mfG 20
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Wie nennt sich denn das Kapitel, wo du gerade dran sitzt?
AnnePopanne Auf diesen Beitrag antworten »

ÉInführung in die Integralrechnung - Flächeninhaltsfunktionen
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von AnnePopanne
ÉInführung in die Integralrechnung - Flächeninhaltsfunktionen


Sorry, da muss ich passen!
Also momentan wüste ich nicht, wie du den Flächeninhalt ohne integration berechnen solltest.

Vielleich weis 20_Cent ja noch was....



Gruß, mercany
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

man kann den Flächeninhalt natürlich auch über Summen von Rechtecken (Obersumme, Untersumme) berechnen, aber dann kann man auch direkt das Integral herleiten.
Ansonsten wüsste ich keine Möglichkeit.
mfG 20
AnnePopanne Auf diesen Beitrag antworten »

also diese sogenannte stammfunktion ist wohl diese flächeninhaltsfunktion die ich meine, aber diese schreibweise haben wir noch nicht gelernt
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Wie habt ihr es dann glernt?
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

tja... dann kannst du entweder jetzt die aufgabe mit der stammfunktion machen, indem du die einfach nachguckst, oder garnicht.
mfG 20
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Aufgabe kann man alleine durch etwas Logik lösen.

f(x)=(x-k)² ist die Funktionsschar. Aus dem Kllammerausdruck kann man herauslesen, dass die Funktion nur in der x-Achse verschoben wird.
Das Integral ist die Fläche zw. Graph und x-Achse.

Was geschieht mit dem Integral wenn du jetzt verschiedene k wählst bzw. den Graph in der x-Achse verschiebst?
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

das problem ist ja, dass anne gar nicht weiß, was das integral ist...
mfG 20
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

aber das hab ich in meinem Post doch grob erklärt. Sie nennt es Fläche, ich Integral.
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrPSI
aber das hab ich in meinem Post doch grob erklärt. Sie nennt es Fläche, ich Integral.


du hast schon recht...

nur denke ich nicht, dass hier "logik" der sinn der aufgabe ist!
schliesslich geht es ja um die einführung in integralrechnung.



mfg, mercany
AnnePopanne Auf diesen Beitrag antworten »

also meine flächeninhaltsfunktion würde lauten:

Ao(x)= 1/3(x-k)³

wie würde eure Stammfunktion lauten??
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

^^
das ist dasselbe.
mfG 20
AnnePopanne Auf diesen Beitrag antworten »

ok dann haben wir das geklärt. aber wie rechne ich nun weiter?!
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

in diese funktion musst du jetzt die obere und die untere grenze (4 und 0) einsetzen und das voneinander abziehen.
dann musst du die funktion minimieren um k zu bestimmen.
mfG 20
AnnePopanne Auf diesen Beitrag antworten »

wie minimiert man=!
AnnePopanne Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du mir das bitte mal vorrechnen?!
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

grenzen einsetzen:



das jetzt ein bisschen zusammenfassen, dann ableiten und =0 setzen, dass ist die erste bedingung für ein extremum...
mfG 20
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

@Anne

Maximum = Hochpunkt und Minimum = Tiefpunkt

Maximum und Minimum nennt man auch Extrum bzw. Extrema(Mehrzahl).
Daher auch der Name Extremwertaufgabe!



Gruß, mercany
AnnePopanne Auf diesen Beitrag antworten »

jup , also ich hab k = 2 raus
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

das ist korrekt...
jetzt siehst du vermutlich auch, dass man sich das so überlegen hätte können, liegt ja genau in der mitte des intervalls...
mfG 20
AnnePopanne Auf diesen Beitrag antworten »

wie kann ich das jetzt überprüfen? kann ich da nicht F2(4)= 1/3 (4-2)³ rechnen
AnnePopanne Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich aber für k = 3 einsetze bekomme ich mit der Stammfunktion n kleineren Flächeninhalt raus?!
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