mittelwertsatz der integration

19.11.2005, 13:07

appendix

mittelwertsatz der integration

Bsp.
berechne für f(t)=sin omega*t im intervall [0,T], mit T=2 $\begin{eqnarray*} \pi/ \end{eqnarray*}$ omega den quadratischen mittelwert

$\begin{eqnarray*} f^{2} \end{eqnarray*}$ def als $\begin{eqnarray*} 1/T \int_{T}^{0}~f^2(t)~dt \end{eqnarray*}$

wobei überm f ein querstrich ist (zeichen für mittelwert,oder?)

ok das integral ausgewertet hab ich, kommt raus 1/2 (natürlich mit radiant)
meine frage ist nun, was ist dieser wert überhaupt.
den normalen mittelwertsatz der int. verstehe ich glaub ich, nur zählt der ja nur für funktionen die im intervall positiv sind. das heißt ja hier mittelw. von f(t)=0.
deshalb würde ich auch gerne wissen wie ich auf die mittelwertformel komme.
danke im voraus.

19.11.2005, 13:13

20_Cent

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RE: mittelwertsatz der integration

Zitat:

Original von appendix
Bsp.
berechne für f(t)=sin omega*t im intervall [0,T], mit T=2 $\begin{eqnarray*} \pi/ \end{eqnarray*}$ omega den quadratischen mittelwert

$\begin{eqnarray*} f^{2} \end{eqnarray*}$ def als $\begin{eqnarray*} 1/T \int_{T}^{0}~f^2(t)~dt \end{eqnarray*}$

wobei überm f ein querstrich ist (zeichen für mittelwert,oder?)

du meinst also das:

$\begin{eqnarray*} \overline{f}^2 \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} 1/T \int_{0}^{T}~{f}^2(t)~dt \end{eqnarray*}$

oder?
mfG 20

19.11.2005, 13:20

Mathespezialschüler

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Am besten, nochmal alles in Latex, die Aufgabe soll wohl so lauten:

Berechne für $\begin{eqnarray*} f(t)=\sin(\omega t) \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,T] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} T=\frac{2\pi}{\omega} \end{eqnarray*}$ den quadratischen Mittelwert

$\begin{eqnarray*} \overline f^2:=\frac{1}{T}\cdot\int_0^T~f^2(t)~\mathrm dt \end{eqnarray*}$ .

Soll über das $\begin{eqnarray*} \overline f \end{eqnarray*}$ noch ein Quadrat, so wie ich es gemacht habe, oder nicht?

Gruß MSS

19.11.2005, 13:22

appendix

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RE: mittelwertsatz der integration
ja genau ich kenn mich mit den latex schreibweisen nicht so gut aus, danke.

19.11.2005, 13:25

Mathespezialschüler

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Und was hast du dir zur Aufgabe überlegt? Du musst ja eigentlich nur eine quadratische Sinusfunktion integrieren und dafür gibt es einige Möglichkeiten, manche gehen schneller, andere dauern länger.

Gruß MSS

19.11.2005, 13:43

appendix

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ich glaub du hast meine frage nicht durchgelesen, ich hab das integral schon ausgewertet.
mich würde interessieren was das ist und wie ich auf die hier definierte formel komme.

19.11.2005, 18:04

Mathespezialschüler

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Achso, sorry. Naja, dazu hilft eine Skizze, z.B. so eine oder eine solche.
Meinst du mit der Frage, wie man auf die Mittelwertformel kommt einfach die Frage, wie man den MWS beweist?

Gruß MSS

20.11.2005, 11:57

appendix

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ich glaub ich hab was ich wollte, eigentlich ja ziemlich einfach.

um den mittelwert zu bekommen muss man einfach nur folgendes lösen:

für $\begin{eqnarray*} f(t)=\sin(\omega t) \end{eqnarray*}$ im Intervall [0,T] mit $\begin{eqnarray*} T=\frac{2\pi}{\omega} \end{eqnarray*}$ den Mittelwert

$\begin{eqnarray*} \overline f\cdot(T-0):=\int_0^T~f(t)~\mathrm dt. \end{eqnarray*}$

beim normalen sinus würde das null ergeben od?
weshalb man das ganze quadriert und so nur positive werte erhält, damit auch einen mittelwert ungleich 0.
wenn man dann noch die wurzel aus $\begin{eqnarray*} \overline f^2 \end{eqnarray*}$ zieht hat man eigentlich den mittelwert für die sinus-betragsfunktion oder?
das würde nämlich sinn machen

20.11.2005, 19:09

Mathespezialschüler

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Nein, ganz so ist das nicht.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{T}\int_0^T~|f(t)|~\mathrm dt=\frac{1}{T}\int_0^T~\sqrt{f^2(t)}~\mathrm dt \end{eqnarray*}$

ist etwas anderes als

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T~f^2(t)~\mathrm dt} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

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