Beweis einer Summenfunktion

19.11.2005, 14:07	Becks86	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis einer Summenfunktion Hallo! Soll folgendes beweisen: Es gibt gewisse a,b,c E Q derart, dass für alle nE No gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n~k^{3} = an^4 + bn^3 + cn^2 \end{eqnarray}$ Tip: Bestimme zunächst a,b,c Hab jetzt erstmal die ganze Zeit versucht a,b,c zu bestimmen, aber hat nicht funktioniert. Ich glaub ich muss erstmal richtig verstehen, was dieses Summenzeichen da aussagt. Könnte das jemand mit Worten erklären und mir dann nen Hinweis geben, wie ich auf a,b,c komme? Hab das mit dem Additionsverfahren versucht, aber ich hab das Summenzeichen da nicht beachtet, also denke ich, dass das falsch ist. Wer kann mir da weiterhelfen?
19.11.2005, 14:11	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Summenzeichen bedeutet, dass du alle Zahlen von 1 bis n zuerst hoch 3 nimmst und dann zusammenaddierst. mfG 20 PS: Möglicherweise lassen sich a, b, c durch probieren mit kleinen n finden, danach kann man das mit vollst. Ind. beweisen.
19.11.2005, 14:50	4c1d	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n ~k^3 = 0^3+1^3+2^3+...+n^3 \end{eqnarray}$ edit : Mit dem Gleichungssystem war schon keine schlechte Idee, berechne einfach ein paar Summen (z.B. die ersten 3) und bestimme so die gesuchten Koeffizienten.
19.11.2005, 15:42	Becks86	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habs folgendermaßen mit Induktion bewiesen: Beh.: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n~k^{3} = 1/4n^4+1/2n^3+1/4n^2 \end{eqnarray}$ Beweis: durch vollständige Induktion nach n. I.A.: n=1 $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^1~ \end{eqnarray}$ 1=1/4+1/2+1/4 I.V.: Behauptung sei wahr für ein n E No I.S.: n-->n+1 $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n+1}~k^3=(n+1)^3 + \sum_{k=0}^n~k^3=n^3+3n^2+3n+1+1/4n^4+1/2n^3+1/4n^2=1/4n^4+3/2n^3+13/4n^2+3n+1=1/4(n+1)^4+1/2(n+1)^3+1/4(n+1)^2 \end{eqnarray}$ Ist das so richtig?
19.11.2005, 15:45	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du das abgibst, dann würde ich ein paar mehr zwischenschritte am schluss empfehlen. multipliziere einfach beide seiten aus, dann sieht man, dass das gleich ist. ansonsten ists aber richtig. mfG 20
19.11.2005, 18:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Für einen tieferen Einblick in die Problematik siehe hier.
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20.11.2005, 14:49	maxhase	Auf diesen Beitrag antworten »
klasse... analog kann man nämlich beweisen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \end{eqnarray}$ cool. wieder'ne Aufgabe gelöst. Damit habe ich meine wöchentliche Katastrophe fast allen gelöst. geil... Danke Euch

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