Relationen

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MatheDAU Auf diesen Beitrag antworten »
Relationen
Hallo,

ich bräuchte bitte Hilfe bei folgender Aufgabe:


In der Menge R x R = R² (R: Menge der reellen Zahlen) der geordneten reellen Zahlenpaare sei die folgende binäre Relation Rel definiert:



Welche der Eigenschaften irreflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv besitzt Rel?
Begründen Sie Ihre Behauptungen.




Mein Problem ist nun, daß ich mir nicht sicher bin, wie die Matrix zu der Relation aussieht.

Hätte ich diese, so könnte ich daran auch die Eigenschaften ablesen.

Aber leider kriege ich diese Matrix nicht hin und würde mich sehr freuen, wenn mir da mal jemand auf die Sprünge helfen könnte.


Vielen Dank

Janosch
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Zeig mal was du hast!


Gruß, mercany
MatheDAU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe noch nix, weil mir der Ansatz für die Matrix fehlt.

Wenn ich die habe, kann ich selber weitermachen.

Ich weiß bei der Matrix nur nicht, wie ich x' und y' handhaben soll.



Mein bisheriger gedanklicher Ansatz:

Normalerweise würde ich einen Zahlenbereich wählen (z.B. -5 .. +5), eine Matrix zeichnen und die obige Bedingung für die einzelnen Wertepaare überprüfen.
Da ich mir aber unsicher bin, wie ich x' und y' dabei unterbring, komm ich im Moment nicht weiter.


Gruß

Janosch
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe keinerlei ahnung, was du hier mit matrix meinst !? verwirrt


verstehst du die relation?
du erweiterst einfach die normale <-relation auf paare aus, indem du erst das erste paar vergleichst und gegebenenfalls (falls beim ersten paar noch nicht < bzw. nicht< entscheiden werden kann) noch das zweite


das ist wie bei der ordnung von 2-buchstabigen wörtern
AE kommt im wörterbuch vor XC, weil A vor X
FD kommt nicht vor ER, weil eben F nicht vor E kommt
im fall AE und AD musst du den zweiten buchstaben vergleichen um die reihenfolge festzulegen
MatheDAU Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo LOED,

danke für Deine Hilfe und ja, ich verstehe die Relation. Ich weiß nur nicht, wie ich die Matrix dazu erstelle. Das ist alles.

Hier mal eine Beispielaufgabe, was ich mit einer Matrix meine:



Im Dateianhang das Bild mit der dazugehörigen Matrix.

Und hier die Antworten:

ist nicht reflexiv (Gegenbeispiel (0,0))
ist irreflexiv (alle Hauptdiagonalelemente 0)
ist symetrisch (Nichtdiagonalelemte symetrisch)
ist nicht antisymetrisch (da symetrisch)
ist nicht transitiv (Gegenbeispiel aus (1,3) und (3,1) folgt nicht (1,1)


Hilft das bei der Verständlichkleit, was ich mit einer Matrix meine und wie ich diese
Aufgabe lösen soll?


Danke,

Gruß


Jansoch
MatheDAU Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich würde mich immer noch sehr freuen, falls mir jemand beim erstellen der Matrix zu der genannten Relation helfen könnte...


Vielen Dank,


Gruß

Janosch
 
 
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

entschuldigung, der thread war untergegangen


deine adjazenzmatrix würde halt beliebig groß werden
kannst du die dinge nicht auch OHNE MATRIX AUFSTELLEN prüfen?
MatheDAU Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

erstmal Danke für die Antwort und kein Problem mit dem Übersehen, hier im Forum is ja auch ne Menge los...


Zur Matrix:
Das die Matrix irgendwie nicht hinhaut, war ja auch mein Problem und Anlass meines Postings. Aber sehr beruhigend, daß dies nicht (nur smile ) an meiner Unfähigkeit lag, sondern es scheinbar wirklich nicht möglich ist (oder nur auf nem ziemlich großen Stück Papier).


Zum Prüfen ohne Matrix:
Bräuchte da wohl mal nen kleinen Denkanstoss.

Habe solche Aufgaben zwar schon ein paarmal gemacht, aber meist mit Matrix. Wenn ohne Matrix, dann waren es diese Verwanschaftsaufgaben (x hat eine Schwester).

Diesmal steh ich da aber so ein wenig aufm Schlauch.


gedanklicher Ansatz:
bleiben wir bei Deinem Beispiel mit 2buchstabigen Wörtern:

Ich habe da also eine (unendlich große) Menge georndneter Paare, z.B. AA, AB, BA, BB, ...


Aber wie fange ich an, die Bedingungen zu überprüfen?

Reflexivität -> x steht mit sich selbst in Relation:

laut bedingung soll ja x < x' ODER x=x' und y<y' sein .

wir haben dann z.B. AA und yy', wobei für Y nicht möglich ist: BB oder BA. stimmt das?

tja, aber wie gehts jetzt weiter?

Danke und Gruß

Janosch
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Reflexivität -> x steht mit sich selbst in Relation:

laut bedingung soll ja x < x' ODER x=x' und y<y' sein .

du vergleichst hier ein paar (x1,x2) MIT sich selbst, (x1,x2)

du sagst, dass es in relation steht, wenn entweder x1<x1 ist, oder falls x1=x2, dann eben x2<x2

naja was sagst su also zuer reflexiviät?
Jensen1705 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo muss exakt die selbe Aufgabe lösen ich komme aber leider schon beim Ansatz nicht weiter unglücklich

Kann mir da jemand helfen???
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wo hängt es denn?

ich frage wie oben (mathedau scheint ja nicht mehr interessiert zu sein), hast du das prinzip der relation verstanden?

wenn das klar ist, sollte es eigentlich nicht weiter schwer sein.....



Zitat:
Zitat:
Reflexivität -> x steht mit sich selbst in Relation:

laut bedingung soll ja x < x' ODER x=x' und y<y' sein .


du vergleichst hier ein paar (x1,x2) MIT sich selbst, (x1,x2)

du sagst, dass es in relation steht, wenn entweder x1<x1 ist, oder falls x1=x2, dann eben x2<x2

naja was sagst su also zuer reflexiviät?
Jensen1705 Auf diesen Beitrag antworten »

laut bedingung soll ja x < x' ODER x=x' und y<y' sein .

du vergleichst hier ein paar (x1,x2) MIT sich selbst, (x1,x2)

du sagst, dass es in relation steht, wenn entweder x1<x1 ist, oder falls x1=x2, dann eben x2<x2

naja was sagst su also zuer reflexiviät?

--------------------------------------------------------------------------------------------
habe mit x' und y' so meine Probleme was sagt das aus???

sind das einfach nur weitere Variablen???

Reflexiviät=>
reflexiv: Jede Element steht zu sich selbst in Relation
irreflexiv Kein Element steht zu sich selbst in Relation

zu sich selbst??? Wie kann ich mir das vorstellen???

und sollte es nicht lauten x1<x1 oder x1 = x1 und x2 < x2???

Habe da wohl grundsätzlich noch so meine Probleme
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

klar, x,y,x'.... sidn eben aus IR
eins deiner paare hat dann die form (x,y), das andere eben (x',y')
wegen mir auch (x1,x2), (y1,y2) egal



Zitat:
Original von LOED
verstehst du die relation?
du erweiterst einfach die normale <-relation auf paare aus, indem du erst das erste paar vergleichst und gegebenenfalls (falls beim ersten paar noch nicht < bzw. nicht< entscheiden werden kann) noch das zweite


das ist wie bei der ordnung von 2-buchstabigen wörtern
AE kommt im wörterbuch vor XC, weil A vor X
FD kommt nicht vor ER, weil eben F nicht vor E kommt
im fall AE und AD musst du den zweiten buchstaben vergleichen um die reihenfolge festzulegen

hilft dir das zumindest, um die relation zu verstehen?

machen wir mal einen test:
wie stehen jeweils folgende paare in relation? gar nicht? eins zum anderen?
(1,2) und (3,4)
(1,2) und (2,1)
(0,0) und (7,-7)

??
Jensen1705 Auf diesen Beitrag antworten »

machen wir mal einen test:
wie stehen jeweils folgende paare in relation? gar nicht? eins zum anderen?

(1,2) und (3,4) => x < x'
(1,2) und (2,1) => x < x'
(0,0) und (7,-7) => x < X'
--------------------------------------------
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

naja, was x und x' sind, hast dir jetzt selbst ausgedacht

aber immer das linke ist kleiner als das rechte, denn die erste komponente vom linken ist stets kleiner als die vom rechten

gilt (1,2)<(1,4) oder (1,4)<(1,2)?
verstehst du die relation inzwischen?

nun frage ich dich:
gilt für alle x,y aus IR: (x,y)<(x,y) nach diesem bildungsgesetz?
gilt das evtl für gar keine?

mfg jochen
Jensen1705 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry aber stehe immer noch auf dem schlauch ...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hast du die relation verstanden?

ich denke insbesondere am "sortierungsprinzip von wörtern im wörterbuch" sollte es klar werden

du erweiterst "<" von den reellen zahlen auf reelle paare

von (x,y) und (x2,y2) ist diejenige kleiner als die andere, deren erste komponente kleiner ist (vgl x mit x2)
sind diese beiden ersten komponenten gleich, DANN entscheidet die zweite komponente



ist dir diese relation klar?
wenn ja, weiß ich nicht, was für probleme du hast, refelxivität oder nicht zu überprüfen
Jensen1705 Auf diesen Beitrag antworten »

So in etwa

(1,2) < (3,4)
(1,7) < (1,8)

???
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

genau

und eben nicht
(2,1) < (1,1000000)
denn wenn wie erste komponente entscheidet, dann ist die zweite UNWICHTIG
die kommt nur zum tragen, wenn die ersten gleich sind




so, ist das also reflexiv?
ist es irreflexiv?
ist es symmetrisch?
ist es transitiv?
Jensen1705 Auf diesen Beitrag antworten »

so, ist das also reflexiv? ja , denn x = x für alle x
ist es irreflexiv? nein
ist es symmetrisch? nein, denn x < x' ist nicht = x' < x
ist es transitiv? ja => x~x' ^ x'~x'' => x' durch x ersetzen => x~x''
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ja , denn x = x für alle x

es geht hier nicht um "x=x" (x ist dabei ein paar reeller zahlen), sondern um x<x

unglücklich



zur symmetrie: finde lieber ein ggenbeispiel, denn so ist das eine unbewiesene behauptung

transitivität: beweis so nicht, aber es ist transitiv, das stimmt
Jensen1705 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm.....
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jensen1705
Hmmm.....

hallo jensen, dieser post ist sinnlos
was bezweckst du damit?

beantworte erst meine fragen oder sage genau, warum du das nicht kannst
ich werde mich nicht von sinnlospostings beeinflussen lassen und grundlos mehr sachen verrraten....
Jensen1705 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, sollte bedeuten das ich keine zusammenhänge sehe
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hallo jensen

schau dir mal unser gespräch hier an; meine beiträge sind alle so lang und deine dann fast immer ganz kurz und teilweise echt unötig

wenn du auf eine musterlösung meinerseits hoffst, muss ich dich enttäuschen

lies dir halt in ruhe noch mal den ganzen thread durch und dann gib dir halt mal ein wenig mehr mühe
wenn da keine arbeit von dir kommt, bzw. wenigstens klarere aussagen, was du nicht vestehst, dann kann (und will) ich dir nicht helfen

jochen
Jensen1705 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry habe nebenbei ein seminar gehabt...

So ich bekomm immer nur Definitionen um den Kopf gehauen.... Brauche aber Beispiele um das zu verstehen... Magst ja alles richtig sein was du geschrieben hast kann aber bisher nicht so wirklich was mit anfangen...

Um eine Definition nachzurechnen, musst man sie erstmal konkret hinschreiben, und zwar auf meine Aufgabenstellung angewandt!

und dabei habe ich schon probleme.....


EIne Musterlösung würde mir auch nicht helfen weil ich das ja nicht wirklich verstanden hätte
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du probleme übehaupt mit relationen und eigenschaften wie reflexivität etc. hast, dann sag das doch einfach.

dann nehmen wir die ganz einfache <-relation auf IRxIR

es gilt: x~y <=> x<y mit der ganz bekannten kleinerrelation

also z.b. 4~8, 2~6, aber nicht 5~3, 2~2 usf.

jetzt frage ich dich hier:
ist das reflexiv?
übeleg dir was reflexiv heißt und schau, ob das für alle elemente aus IR zutrifft

ist das symmetrisch?
was bedeutet symmetrisch genau!?

ist das transitiv?
Jensen1705 Auf diesen Beitrag antworten »

x~y < = > x < y

reflexiv:
Die Relation ist antireflexiv(irreflex), denn x < x gilt für kein x.

transitiv:
z.b. 2<3, 3<4 => 2<4

asymmetrisch:
denn 3 < 4 folgt nicht 4 < 3
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

irreflexiv (und nicht reflexiv) stimmt


Zitat:
transitiv:
z.b. 2<3, 3<4 => 2<4

asymmetrisch:
denn 3 < 4 folgt nicht 4 < 3

statt asymetrisch lieber nicht symmetrisch, das passt auch

aber für transitivität reicht nicht EIN BEISPIEL
das muss ja für ALLE gelten, nicht nur für 2,3,4
musst es also für alle zeigen





auf jeden fall solltest du jetzt auch die frage bentworten können, ob die obige relation (mit den paaren) reflexiv oder irreflexiv oder.... ist
versuchs mal
Jensen1705 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt kein Element (x,x') , das zu sich selbst in Relation steht, denn dafür müsste ja (x<x) gelten oder (x=x und x'<x'). Beides ist aber unmöglich, da ein Element x bzw. x' aus IR nie kleiner als es selbst ist.
Also ist die Relation irreflexiv.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

jopp, genau so ist es
keine reflexivität, ja sogar irreflexivität!

ist es symmetrisch? ist es antisymmetrisch?
Jensen1705 Auf diesen Beitrag antworten »

Symmetrie bedeutet: Fuer alle m, n aus M folgt aus ((m,n) aus Rel), dass auch ((n,m) aus Rel).

Prüfen ob für "( (x<x') oder (x=x' und y<y') )"
auch "(x'<x) oder (x'=x und y'<y) )" gilt.

Bsp. (1,2),(2,3) => gilt nicht

ist nicht symmentrisch
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ist natürlich nicht symmetrisch

aber mach dir gleich mal mehr gedanken: ist es "antisymmetrisch"?
kennst du die bed. an antisymmetrie?
Jensen1705 Auf diesen Beitrag antworten »

------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Antisymmetrisch bedeutet : Fuer alle m, n aus M folgt aus ((m,n) aus Rel), dass auch ((n,m) aus Rel) stets m = n
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Transitiv bedeutet: Fuelle m, n aus M folgt ((m,n) aus Rel), dass auch ((n,o) aus Rel) und auch ((m,o) aus Rel)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

falsche formulierung, aber du meinst wohl das richtige:

antisymmetrie:
aus (m,n) in rel und (n,m) in rel => n=m
bei dir steht da, dass aus (m,n) in rel (n,m) in rel folgt, und das ist natürlich falsch

ähnliche falsche formulierung bei transitivität
aus (m,n) in rel, folgt, dass (n,o) in rel ????




nun frag dich:
ist diese reltion antisymmetrisch? wenn ja, wie zeigst du das?
ist sie transitiv? wenn ja, w.z.d.d.?
Jensen1705 Auf diesen Beitrag antworten »

antisymmetrie:
(m,n) in rel und (n,m) in rel => n=m

aus x < x' und x' < x folgt nicht x = x'

ist nicht antisymmetrisch



---------------------------------------------------------------------------------
transitivität:
aus (m,n) in rel und (n,o) in rel => (m,o) in rel ????

Bsp. 2 < 3, 3 < 4 also ist 2 < 4

ist transitiv
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
aus (m,n) in rel und (n,o) in rel => (m,o) in rel ????

das ist die def. von transitiv, ja

aber ich habs schon gesagt: ein einziges beispiel reicht nicht!



Zitat:
aus x < x' und x' < x folgt nicht x = x'

ist nicht antisymmetrisch

und ich sage doch!
nenne mir doch mal ein einziges paar, für das x<x' und x'<x, aber nicht x=x' gilt
Big Laugh
Jensen1705 Auf diesen Beitrag antworten »

transitiv

muss man mehere Beispiel anführen, oder sollte der Beiweis allgemeiner gehalten werden...
---------------------------------------------------------------------------------
antisymmetrisch

es gibt kein zahlenpaar für das gilt x<x' und x'<x, aber nicht x=x'

Bsp:
x=1,x'=1; x<x' => nein
x=2,x'=3; x=x' => nein
x=4,x'=3; x<x' => nein
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nein, gar keine zahlenbeispiele

wenn du reflexivität WIDERLEGEN willst, dann reicht ein gegenbeispiel
denn du willst ja zeigen, dass es nicht für alle gilt

wenn du aber zeigen willst, dass es transitiv ist, dann musst du zeigen, dass für ALLE blabla
wenn deine menge nicht endlich ist, kommst du da kaum mit aufzählen hin!



was du da bzgl. der antisymmetrie aufschreibst verstehe ich nicht
es gilt: deine relation ist antisymm., denn, da x<x' und x'<x NICHT möglich ist, gilt eben IMMER, dass aus x<x' und x'<x x=x' folgt

alles klar?
Jensen1705 Auf diesen Beitrag antworten »

transitiv: worauf willste hinaus???
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Sie ist antisymmetisch weil es nicht symmetisch ist???
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