Ableitung eulersche Zahl

24.04.2008, 18:51

Monster

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Ableitung eulersche Zahl

Hallo ihr Lieben, hab mit der Suchfkt leider nix gefunden, was mir weiter hilft.
Nun bitte ich um einen Link oder eine kurze Erklärung zum Beweis, dass die Ableitung von f(x)= $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ auch f´(x)= $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ist.
Bin mit dem Differentialquotienten an die Sache herangegangen.
f´(x)=lim D(h)= $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h} \end{eqnarray*}$
Habe dann $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ faktorisiert und komm ab da nicht weiter!

24.04.2008, 19:03

ushi

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RE: Ableitung eulersche Zahl
vielleicht hilft dir diese herleitung:

http://file1.npage.de/000980/81/download...sis.pdf#page=50

kapitel 6.1.1 Die Eulersche Zahl (seite 50)

24.04.2008, 19:07

Monster

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Der Link ist zwar voll klasse aber da gibts nirgends den Beweis dass f´(x)=f(x)
Komm näml bei meinen Herleitungen nie drauf sondern immer nur auf Null...

24.04.2008, 19:19

system-agent

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Nimm den Beweis, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1 \end{eqnarray*}$
und die Tatsache
$\begin{eqnarray*} e^{x+h}=e^x\cdot e^h \end{eqnarray*}$

Damit kommst du durch.

24.04.2008, 19:27

Monster

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Versteh nid, warum des erstere deiner Beweise 1 ergibt, für mich wär das null oder nicht definiert, hab bestimmt ne Denkblockade kannst mir da helfen?

24.04.2008, 19:28

tmo

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Sorry, dass ich mich einmische:

Was weißt du denn über die eulersche Zahl @ Monster? Also was habt ihr in der Schule darüber gelernt?

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24.04.2008, 19:33

Monster

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Sie wurde von nem Herrn Euler entwickelt und ist 2,blaa^^
Tjoa und dann noch dass der ln (Logarithmus naturalis oder so) auf der Basis e beruht.
Und des wars dann.

24.04.2008, 19:38

tmo

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Dann bleibt dir eigentlich nichts übrig außer $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{e^h-1}{h} = 1 \end{eqnarray*}$ als gegeben hinzunehmen (du kannst ja meinentwegen die e-funktion mal zeichnen und dann die Tangente bei x = 0 einzeichnen und sagen, dass die die Steigung 1 hat) und damit den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h} \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

Du hast ja schon selbst gesagt, dass du $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ausklammern musst.

24.04.2008, 19:40

Monster

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Hm okay, ich hoff einfach nur, dass ich moin damit nid drankomm Gott

Gott

Dankeschön für eure Hilfe, man sieht sich bestimmt bald wieder xD

24.04.2008, 20:45

Primzahl

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du kannst auch die umkehrfunktion und kettenregel benutzen, falls ihr sie schon bewiesen habtt. für die umkehrfunktion g(y) von $\begin{eqnarray*} f(x)=y=e^x \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} g(y)=lny \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{g'(y)} \end{eqnarray*}$

24.04.2008, 21:05

system-agent

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@Primzahl

Meistens wird aber genau die Ableitung des $\begin{eqnarray*} \log \end{eqnarray*}$ mit diesem Ergebnis bewiesen...

24.04.2008, 21:23

Primzahl

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jo stimmt, aber in dem fall war ja nach der ableitung der eulerschen zahl gefragt. falls sie jetzt noch einen beweis für die ableitung der logarithmusfunktion haben will, muss man dann natürlich einen anderen beweis suchen.

24.04.2008, 21:26

system-agent

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Eine Ableitung der Eulerschen Zahl ist sowieso sinnlos, denn ableiten kann man nur Funktionen.

24.04.2008, 21:39

Primzahl

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ja hab mich falsch ausgedrückt, meinte natürlich die funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$ , wobei dem threadersteller genau der selbe fehler unterlaufen ist. Big Laugh

Big Laugh

08.11.2008, 18:14

Dyan

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Wie schon oben beschrieben:

1.) Differenzenquotient

$\begin{eqnarray*} m(h)=\frac{e^(x+h)-e^x}{h} =e^x\cdot\frac{e^h-1}{h} \end{eqnarray*}$

2.) Grenzwert für h -> 0

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0} m(h)=e^x \cdot \lim_{h \to 0} (\frac{e^h-1}{h})=e^x \cdot f'(0) \end{eqnarray*}$

Die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion an der Stelle x ist also gleich dem Produkt aus dem Funktionswert an der Stelle x und der Ableitung der Funktion an der Stelle 0.
Jetzt (den Beweis dafür brauchst net) geht man davon aus,

dass $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{(e^h-1)}{h}=1 \end{eqnarray*}$ ist.

Daher ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=e^x \end{eqnarray*}$ . Insbesondere ist $\begin{eqnarray*} f'(0)=1 \end{eqnarray*}$ .

08.11.2008, 19:04

system-agent

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Zitat:

Original von Dyan

Jetzt (den Beweis dafür brauchst net) geht man davon aus,

dass $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{(e^h-1)}{h}=1 \end{eqnarray*}$ ist.

Genau das ist doch das einzige Interessante an der ganzen Herleitung unglücklich

unglücklich

.

10.11.2008, 15:54

voessli

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Man muß nur beweisen, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion gleich dem y-Wert multipliziert mit einer Konstante ist. Bei der e-Funktion wird dieser Faktor definiert als 1, also (e^x)' = 1*e^x

10.11.2008, 17:14

system-agent

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Zitat:

Original von voessli
Man muß nur beweisen, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion gleich dem y-Wert multipliziert mit einer Konstante ist. Bei der e-Funktion wird dieser Faktor definiert als 1, also (e^x)' = 1*e^x

Das ist Quatsch. Du kommst nicht drumherum den obigen Grenzwert zu betrachten. Du musst bei deiner Methode wenigstens wissen, dass $\begin{eqnarray*} f'(0) \end{eqnarray*}$ existiert, also eine Konstante ist und $\begin{eqnarray*} f'(0) \end{eqnarray*}$ ist genau dieser Grenzwert.

10.11.2008, 20:12

Nubler

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oder man betrachtet:

$\begin{eqnarray*} \exp{x}:=\lim\limits_{n \to \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

des einfach ableiten und dann den grenzübergang machen wär ne alternative

dazu braucht man nur die kettenregel und die ableitung für ein polynom

11.11.2008, 17:23

system-agent

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Was passiert dann?
Dann hast du
$\begin{eqnarray*} \exp'(x)=\frac{\dd}{\dd x}\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$
dastehen und du musst die ein gutes Argument einfallen lassen wieso man hier den Limes und die Ableitung vertauschen darf...

11.11.2008, 23:19

BraveHeart

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Also wir hatten die Beweisführung erst letzte Woche und ich habs mal gescannt Augenzwinkern

Augenzwinkern

http://i38.tinypic.com/2vmvcz5.jpg

http://i34.tinypic.com/2n8r1c0.jpg

12.11.2008, 18:14

system-agent

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Das Kernproblem, nämlich der korrekte Nachweis des Grenzwertes wird in dem Dokument aber auch nicht gelöst.

Von dem her ist es immernoch am schönsten die Exponentialfunktion über ihre Potenzreihe einzuführen.

12.11.2008, 18:56

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von system-agent
Das Kernproblem, nämlich der korrekte Nachweis des Grenzwertes wird in dem Dokument aber auch nicht gelöst.

Das dachte ich mir vorhin auch

Zitat:

Original von system-agent
Von dem her ist es immernoch am schönsten die Exponentialfunktion über ihre Potenzreihe einzuführen.

Meinst du damit

$\begin{eqnarray*} e^x := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

bzw. für e dann $\begin{eqnarray*} e := \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

?

Mich würde der Beweis nämlich auch mal interessieren.

12.11.2008, 19:06

system-agent

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Ja das meine ich.

12.11.2008, 19:09

Q-fLaDeN

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Wie führt man da dann den Beweis?
Ich hab noch keine Erfahrung im Beweisen, daher hätte ich auch absolut keinen Ansatz, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ gegen e konvergiert.

Ich könnte sie nur in $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = \lim_{k \to \infty}\sum_{n=0}^k \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ umschreiben, aber das wars auch schon Big Laugh

Big Laugh

\Edit: Oder wäre das für meinen Wissensstand noch zu "kompliziert"?

12.11.2008, 19:23

system-agent

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
daher hätte ich auch absolut keinen Ansatz, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ gegen e konvergiert.

Das braucht man nicht beweisen, man definiert einfach $\begin{eqnarray*} e:=e^1 \end{eqnarray*}$ .

Zunächst muss man schauen, für welche $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ diese Reihe konvergent ist und man bekommt, dass es für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ so ist.
Man bekommt
$\begin{eqnarray*} \frac{e^h-1}{h}=\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{h^n}{n!}-1}{h}=\frac{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{h^n}{n!}}{h}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{h^{n-1}}{n!} \end{eqnarray*}$
und das geht gegen 1 für $\begin{eqnarray*} h\to0 \end{eqnarray*}$ .
Leider ist das schon ein bischen informell, denn man muss noch begründen wieso man das mit der Reihe machen darf.
Oder zuerst alles mit einer endlichen Partialsumme machen und dann $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ nehmen. Der Ausdruck links geht anständig gegen $\begin{eqnarray*} \frac{e^h-1}{h} \end{eqnarray*}$ , da man weiss dass die Exponentialreihe konvergent ist. Man muss aber noch sehen, dass die rechte Reihe konvergent ist, aber das ist nicht so kompliziert.

Edit: Fehler korrigiert, danke Qfladen

12.11.2008, 19:43

Q-fLaDeN

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Ok, aber warum geht denn $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{h^{n-1}}{n!}\right) \end{eqnarray*}$ gegen 0 ? Das müsste doch gegen 1 gehen? Denn die Ableitung der e-Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} e^0 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{h^{n-1}}{n!}\right) = \lim_{h \to 0}\left(\frac{1}{1}+\frac{h}{2}+\frac{h^2}{6}+\frac{h^3}{24}+...\right) = 1 \end{eqnarray*}$

Grüße Wink

Wink

12.11.2008, 19:45

system-agent

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Das geht nur gegen Null weil ich es falsch schrieb Forum Kloppe

Forum Kloppe

Danke für die Korrektur, werds ändern Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.11.2008, 19:53

Q-fLaDeN

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Ok dann bin ich ja zufrieden. Wäre man damit schon fertig? verwirrt

verwirrt

12.11.2008, 20:01

system-agent

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Wie gesagt, man muss eben noch die Konvergenz der Reihe auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ beweisen und dazu nutzt man meistens die Formel von Hadamard hier.

Aber ich denke weitere Diskussionen machen wir in einem extra-Thread smile

smile

.

12.11.2008, 20:05

Q-fLaDeN

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Weitere Diskussion ist gar nicht nötig, denn mit der Formel von Hadamard bin ich eh überfragt Big Laugh

Big Laugh

12.11.2008, 20:09

system-agent

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Deshalb der Link smile

smile

12.11.2008, 21:22

Q-fLaDeN

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Ja, aber dann müsste ich beispielsweise wieder wissen was der lim sup ist. Wenn ich Lust und Zeit habe werde ich mich mal damit auseinander setzen und gegebenenfalls einen neuen Thread aufmachen, danke bis hierhin smile

smile

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