Basen in Vektorräumen

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blub85 Auf diesen Beitrag antworten »
Basen in Vektorräumen
Hey!

Ich habe eine kurze Frage:

Aufgabe: Geben Sie überabzählbar viele Basen des -Vektorraumes an.

Wäre die Menge für alle \{0} die richtige Lösung???

vielen Dank!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das wäre eine korrekte Möglichkeit Freude
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht _die_ richtige Lösung, aber eine der richtigen Lösungen
blub85 Auf diesen Beitrag antworten »

super! smile

Dann nochmal kurz eine weitere Frage:

Bestimmen Sie alle Vektorräume, die genau eine Basis besitzen.

Das sind doch genau die R-Vektorraum R, R-Vektorraum Q, Q-Vektorraum R, Q-Vektorraum Q... (also alle Räume mit der Potenz 1 im Exponenten) oder?? :/
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du scheinst die Frage falsch verstanden zu haben:

Du hast auf die Frage geantwortet: Geben sie Vektorräume der Dimension 1 an.

Du sollst aber alle Vektorräume bestimmen, die nur eine einzige Basis haben.

als Vektorraum hat z.b. wieder überabzählbare Basen, nämlich jede reelle Zahl außer die 0.

Ich geb dir mal einen Tipp für die Aufgabe: Wenn ein Vektorraum nur eine einzige Basis besitzt, dann dürfen 2 vom Nullvektor verschiedene Vektoren nicht linear abhängig sein.

Denn sonst könnte man sie in einer Basis austauschen.
blub85 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, soweit habe ich das auch verstanden.

nur wie sieht denn der Vektorraum aus dafür?! :/

sind das vielleicht alle ein-elementigen Mengen?? wie zB {0}?!
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Naja {0} hat gar keine Basis Augenzwinkern

Aber wie wärs mit : http://de.wikipedia.org/wiki/Restklassenring#Der_Restklassenring_modulo_2

Überleg dir mal ob es noch andere geben kann oder nicht.
blub85 Auf diesen Beitrag antworten »

mh, ich meinte vorher den Nullvektor. Der hat doch auch nur genau eine Basis?!? oder=??

danke für Deine hilfe!!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

der Nullvektor ist nicht linear unabhängig. Ferner lässt sich der Nullvektor nicht eindeutig aus dem Nullvektor darstellen. Denn es ist und
blub85 Auf diesen Beitrag antworten »

mh, dann fällt mir keiner mehr ein... ^^
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Dann beweise, dass es keinen anderen gibt.

Nehme dir dazu einen beliebigen Vektorraum, der mindestens 2 vom Nullvektor verschiedene Vektoren enthält. Falls es genau 2 solcher Vektoren gibt, kannst du schnell zeigen, dass sie linear abhängig sein müssen.
Sonst gibt es mindestens 3 und dann kannst du zeigen, dass es auch 3 gibt, die linear abhängig sind.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist klar, dass so ein Vektorraum nur den trivialen Körper, bestehend aus 0 und 1, haben kann.
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