Abschätzen

19.11.2005, 17:44

mercany

Abschätzen

Hallo!

Auf die Gefahr hin, dass ich mich jetzt lächerlich mache:

Kann mir jemand erklären, was man in der Mathematik genau unter "Abschätzen" versteht?
Klar, ich weiß was abschätzen an sich bedeutet, jedoch kann ich hier im Board mit dem Begriff irgendwie nie so richtig was anfangen.

Wann schätze ich nach unten/oben ab?
Aus welchem Grund tue ich das überhaupt?
Auf was wende ich das Ganze an; Folgen weiß ich, noch mehr?

Gut wäre vllt auch ein Bsp. oder nen Link zu einfachen Abschätzungen hier im Board.

Vielen Dank!
mercany

19.11.2005, 18:10

JochenX

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Nullfolge
ist ein schönes beispiel

zu zeigen ist: $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$ ist nullfolge
an sich schnell einsichtig, aber wie zeigt man das z.b.?

wir erinnern uns an die nullfolge b_n=1/n und zeigen nun durch abschätzung, dass unsere folge a_n (die aber wie b_n immer >0 ist!) für n>1 KLEINER als b_n ist (also zwischen 0 und a_n) verläuft.

und dann kannst du dir selbst überlegen, warum sie dann auch nullfolge sein muss (nach dem sogenannten "sandwichkriterium")

sei nun also n aus IN:
dann können wir alle zahlen <n NACH OBEN gegen n abschätzen (wir machen se größer), damit insbesondere das ganze produkt

für n>2:
c_n=1*2*3*...*n<1*n*n*...*n=n^(n-1), indem wir jeden faktor ußer der 1 einfach n einsetzen, dass ganze produkt wird damit größer

eingesetzt ergibt sich (nachdenken!)
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{c_n}{n^n}<\frac{n^{n-1}}{n^n}=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
a_n ist natürlich für große n VIEL KLEINER als die abschätzung 1/n (grobe abschätzung), aber das ist egal

wir haben damit die konvergenz gegen 0 bewiesen

alles klar?

edit: Nullfolgen - Beweisen
da isses ja auch noch mal

20.11.2005, 13:05

mercany

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Hallo Jochen!

Danke für die nette Erklärung.
Das meiste von dem ist mir eigentlich klar, allerdings hab ich da noch zwei Fragen die mir jetzt so spontan dabei kommen.

1.) Warum machst du hier die Abschätzung für $\begin{eqnarray*} n > 2 \end{eqnarray*}$ und nicht zum Beispiel für $\begin{eqnarray*} n > 3 \end{eqnarray*}$ (wenn das ne dumme Fragen ist, dann sags und ich denk erstmal noch etwas drüber nach)

Okey, hier nochmal schnell eine Überlegung dazu:
Du wählst $\begin{eqnarray*} n > 2 \end{eqnarray*}$ , da sich hierdurch aus der Folge $\begin{eqnarray*} n^{n-1} \end{eqnarray*}$ ergibt und du somit auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ kommst und den Vergleich ziehen kannst.
Würde man $\begin{eqnarray*} n>3 \end{eqnarray*}$ wählen, würde man ja hinterher nich auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ kommen, sondern halt auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ ?!

2.) Du benutzt hier ja zum abschätzen nur die Folge $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ . Reicht das grundsätzlich oder ist das nur hier so?

Auch noch ne Überlegung dazu:
Da der Nenner gleich ist, reicht ja der Vergleich des Zähler?!

mfg, jan

20.11.2005, 13:57

JochenX

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Zitat:

Original von mercany
1.) Warum machst du hier die Abschätzung für $\begin{eqnarray*} n > 2 \end{eqnarray*}$ und nicht zum Beispiel für $\begin{eqnarray*} n > 3 \end{eqnarray*}$ (wenn das ne dumme Fragen ist, dann sags und ich denk erstmal noch etwas drüber nach)

Okey, hier nochmal schnell eine Überlegung dazu:
Du wählst $\begin{eqnarray*} n > 2 \end{eqnarray*}$ , da sich hierdurch aus der Folge $\begin{eqnarray*} n^{n-1} \end{eqnarray*}$ ergibt und du somit auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ kommst und den Vergleich ziehen kannst.
Würde man $\begin{eqnarray*} n>3 \end{eqnarray*}$ wählen, würde man ja hinterher nich auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ kommen, sondern halt auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ ?![/latex]

nein, auf b_n=2/n^2 Augenzwinkern

das wäre für größere n auf jeden fall eine exaktere abschätzung, aber würde genau das gleiche ergebnis haben
aber wozu?

Zitat:

2.) Du benutzt hier ja zum abschätzen nur die Folge $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ . Reicht das grundsätzlich oder ist das nur hier so?

Auch noch ne Überlegung dazu:
Da der Nenner gleich ist, reicht ja der Vergleich des Zähler?!

wo man was wie abschätzt, dass muss man dann halt sehen; manchmal muss man auch zähler UND nenner geeignet abschätzen, muss dann aber aufpassen

wenn ein bruch größer null ist, kannst dir ja mal überlegen, was es bringt (insb. welches relationszeichen gesetzt werden muss), zähler größer/kleiner bzw. nenner größer/kleiner zu machen.
selbiges für negative brüche durchdenken.....

was zum beispiel (i.A.) nichts bringt: zähler und nenner vergrößern, denn wie verändert sich dann der ganze bruch!?

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