Kettenregel in plausibler Form

24.04.2008, 20:48

discuss

Kettenregel in plausibler Form

Hey Jungs und Mädels,

wir haben in der Schule als freiwillige Hausaufgabe (die mündlich sehr gut bewertet wird) die Herleitung der Kettenregel plausibler Form bekommen.
Ich dachte ich möchte diese Chance nutzen um mündlich eine gute Note zu bekommen. Die Suchfunktion habe ich auch benutzt, aber leider nix passendes zur Kettenregel gefunden. Leider nur Aufgaben, bei denen die Kettenregel schon abgeleitet verwendet wurde.
Anmerkung: $\begin{eqnarray*} x0 \end{eqnarray*}$ die Null sollte eigentlich kleiner als das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sein und so rechts unter dem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ stehen. Naja ich denk wer sich auskennt weiß was ich meine ;-)

Es geht um folgendes:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{k(g(x0+h))-(k(g(x0))}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{?}{h} \end{eqnarray*}$

Es geht wie schon genannt um die plausible Herleitung. Am Ende sollte dann
$\begin{eqnarray*} f'(x)=g'(x0)*k'(g(x0)) \end{eqnarray*}$ stehen.

Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand von euch mir weiterhelfen kann.
Es geht nicht einfach darum das ich die ganze Herleitung hab sondern es auch verstehe, damit ich es in der nächsten Mathestunde meinen Klassenkameraden erklären kann.

Falls ihr noch Fragen zur Aufgabenstellung habt, dann meldet euch bitte.

Ich bedanke mich schon mal recht herzlich für eure Hilfe!!!

gruß daniel

24.04.2008, 21:08

system-agent

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Nutze die lineare Approximation, dann erhälst du einen Beweis, das heisst schreibe für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ die lineare Approximation hin und betrachte die entsprechenden Grenzwerte.

24.04.2008, 22:12

Bjoern1982

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Oder schau hier

http://www.lehrer.uni-karlsruhe.de/~za273/ableit.pdf

25.04.2008, 19:28

system-agent

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@Bjoern
Was wenn $\begin{eqnarray*} v(x)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ? Dann geht der Beweis nicht mehr.

25.04.2008, 19:41

WebFritzi

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Ja, man muss für den Beweis fordern, dass v in einer Umgebung von x_0 nicht konstant ist. Also Fallunterscheidung.

27.04.2008, 08:56

discuss

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Zitat:

Original von system-agent
Nutze die lineare Approximation, dann erhälst du einen Beweis, das heisst schreibe für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ die lineare Approximation hin und betrachte die entsprechenden Grenzwerte.

Was ist die lineare Approximation???

Naja ich hoffe mal mit euren Antworten am Montag in Mathe klarzukommen.
Ich weiß trotzdem nicht genau, was ihr mit der Fallunterscheidung meint.
Ich leite doch die von mir genannte Funktion ab, bis am Ende die allg. Kettenregel da steht oder etwa nicht? Weil so hatten wir es mit der Produktregel und auch mit der Quotientenregel gemacht.

Vielen Dank nochmal an euch alle für eure Antworten! Naja ich denke das klappt morgen schon. Euch noch nen schönen Tag!!!!

gruß daniel

27.04.2008, 09:28

system-agent

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Man kann eben die Kettenregel nicht einfach so beweisen wie in dem Vorschlag in dem genannten Link ist, denn wie bereits gesagt, falls die innere Funktion konstant ist teilt man durch Null, und das ist bekanntlich verboten.

Die lineare Approximation ist die Idee der Ableitung:
Man versucht die differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der gewünschten Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ durch ihre Tangente $\begin{eqnarray*} y=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0) \end{eqnarray*}$ dort anzunähern. Natürlich wird man im Allgemeinen nicht genau die Funktion bekommen, deshalb hat man einen Fehlerterm $\begin{eqnarray*} \epsilon(x) \end{eqnarray*}$ .
Je "näher" man der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ kommt, desto kleiner muss der Fehler werden, das heisst $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}\epsilon(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

Damit wäre die lineare Approximation für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ wie folgt:
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)+\epsilon(x) \end{eqnarray*}$

Genaueres kannst du unter dem Stichwort "Taylorreihe" nachlesen.

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