Aufgabe zu Gruppen

19.11.2005, 19:00	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zu Gruppen Hallo! Ich komme hier bei einer Aufgabe nicht weiter und es wäre echt nett von euch, wenn ihr mir in irgendeiner Weise weiterhelfen könntet. Die Aufgabe lautet: Sei G eine Gruppe mit endlich vielen Elementen, und sei H eine Untergruppe von G. Beweisen Sie, dass die Kardinalität \|H\| ein Teiler von \|G\| ist. Untersuchen Sie dazu die Kardinalität der Nebenklassen gH für $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ . Also mein Ansatz bisher ist lediglich folgendes. Aus meinen Aufzeichnungen geht der Satz hervor "Je zwei Linksnebenklassen sind gleich oder disjunkt und gleichmächtig. G ist die disjunkte Vereinigung seiner Linksnebenklassen." Also wenn $\begin{eqnarray} g_1 , ... , g_n \in G \wedge gH \cap g_{1}H = \emptyset \forall g , g_1 \in G \Rightarrow G = g_{1}H \cup ... \cup g_{n}H \Rightarrow \|G\| = n \|gH\| fuer g \in G \end{eqnarray*}$ Also ist \|gH\| ein Teiler von \|G\| ! Nur irgendwie führt mich das nicht weiter... Mir fehlt der Bezug zur Untergruppe H und zur Äquivalenzrelation, die die Linksnebenklassen festlegt... Bitte, bitte helft mir /edit: Ah, ich sehe gerade, dass ich das irgendwie mit latex nich hinbekomme. kann mir da mal ein mod bitte auch helfen? edit: Latex-Code verbessert, keine Umlaute im Formelmodus! (MSS)
19.11.2005, 19:28	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ihr hattet ja schon, dass alle Linksnebenklassen gleich viele Elemente haben. Du musst nur noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ selbst genauso viele Elemente hat, also gleichmächtig zu jeder ihrer Linksnebenklassen ist. Gruß MSS
19.11.2005, 20:41	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
achso! in einer vorlesung hat mal jemand, der den prof vertreten musste an dem tag (und nicht gerade besonders gut) den beweis durchgeführt, allerdings hat den niemand so richtig kapiert. Ich versuche mal, aus meinen notizen das richtige hinzuschreiben. Ihr könntet ja überprüfen, obs ansatzweise richtig ist und vielleicht ergänzen? Sei $\begin{eqnarray} h \in H \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} gh \in gH \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} gh_1 = gh_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow h_1 = h_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ H und gH sind gleichmächtig. Aber um ehrlich zu sein, verstehe ich das nicht...
20.11.2005, 00:40	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du definierst dir einfach eine Abbildung von $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} gH \end{eqnarray}$ für ein festes $\begin{eqnarray} g\in G \end{eqnarray}$ . Jetzt zeigst du, dass sie surjektiv und injektiv ist. Die Surjektivität ist trivial und die Injektivität folgt aus dem, was du da aufgeschrieben hast. Damit hast du eine bijektive Abbildung, also sind sie gleichmächtig. Gruß MSS

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