periodische dezimalbruchentwicklung

20.11.2005, 11:43

studentin

periodische dezimalbruchentwicklung

hallo zusammen!

hab da ein kleines problemchen bei der afgabe. kann mir da jemand einen rat geben?

Aufgabe lautet:
n element N, ggT(n,10)=1. Zeige dass die Dezimalbruchzerlegung von 1/n (z.b. 1/3=0.33333...., 1/7=0.090909... usw.) periodisch ist, und dass die Länge der Periode genau die Ordnung von 10 in der primitiven Restklassengruppe (Z/n)* ist. Insbesondere ist sie ein Teiler von f(n).

Also eigentlich ist mir die Aufgabenstelllung klar, bis auf den letzten Satz. Das Problem ist wie man das zeigt.......

20.11.2005, 11:51

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Zitat:

Original von studentin
Insbesondere ist sie ein Teiler von f(n).

Du meinst sicher $\begin{eqnarray*} \varphi(n) \end{eqnarray*}$ , die Eulersche Phi-Funktion .

20.11.2005, 11:56

studentin

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ja genau ich meine die Eulersche Phi-Funktion

20.11.2005, 12:01

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Na dann wende ihn doch an, den Satz von Fermat-Euler - seine Voraussetzungen sind wegen der Teilerfremdheit von 10 und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ja erfüllt. Es gilt also

$\begin{eqnarray*} 10^{\varphi(n)} \equiv 1 \mod n \end{eqnarray*}$ .

Jetzt musst du dir nur noch den Zusammenhang zur Dezimalbruchentwicklung klar machen.

20.11.2005, 12:07

studentin

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ja disen Zusammenhang versteh ich leider nicht..............

20.11.2005, 12:11

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Also gut: Wegen Fermat-Euler gibt es eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 10^{\varphi(n)}-1=kn \end{eqnarray*}$ . Jetzt schreiben wir das ganze mal anders:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} = k\cdot \frac{1}{10^{\varphi(n)}-1} \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt versuch mal, die Dezimalbruchentwicklung der Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10^{\varphi(n)}-1} \end{eqnarray*}$ zu finden.

20.11.2005, 12:31

studentin

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also f(n) = |{a element {0,1,.........n-1}: ggT(a,n)=1}|
dann ist für f(n) =1 1/n=k*0.1111111...
für f(n)=2 ist 1/n=k*0,01010101....
für f(n)=3 ist 1/n=k*0,001001.....

aber ich vestehe es trotzdem nicht so.........sorry

20.11.2005, 12:40

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Nehmen wir mal das Beispiel $\begin{eqnarray*} n=7 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \varphi(7)=6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 10^6-1=999999=142857\cdot 7 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} k=142857 \end{eqnarray*}$ . Somit ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{10^{\varphi(n)}-1}=0,000001 \, 000001 \,000001 \, \ldots \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} = \frac{k}{10^{\varphi(n)}-1}=0,142857 \, 142857 \, 142857 \, \ldots \end{eqnarray*}$ .

Jetzt etwas klarer?

20.11.2005, 12:50

studentin

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ja jetzt ist ein bisschen klarer geworden. Danke!

ist damit dann alles bewiesen??

eine blöde Frage noch: wieso ist f(7)=6?? hab mir nochmal den Skript angeschaut, kopiers trotzdem nicht.......

20.11.2005, 12:57

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Nein, damit ist bisher nur bewiesen, dass die Dezimalbruchentwicklung von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ die Periode $\begin{eqnarray*} \varphi(n) \end{eqnarray*}$ hat. Aber obacht: Periode heißt nicht automatisch kürzeste Periode!!! Dazu das Beispiel $\begin{eqnarray*} n=9 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \varphi(9)=6, 10^6=999999 = 111111 \cdot 9 \end{eqnarray*}$

Also nach dieser Methode erhält man Periode 6, was zwar stimmt, aber ganz offenbar nicht die kürzeste Periodenlänge von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} \end{eqnarray*}$ ist - die ist nämlich nur 1. Und dahin geht auch die Frageformulierung "Ordnung von 10 in $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/n)^* \end{eqnarray*}$ .

Und was $\begin{eqnarray*} \varphi(7)=6 \end{eqnarray*}$ betrifft: Ein bisschen mehr musst du dich schon inhaltlich mit der Eulerschen Phi-Funktion auseinandersetzen! Der oben von mir verlinkte Wikipedia-Artikel ist ein ganz guter Startpunkt dafür.

20.11.2005, 13:14

studentin

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ja was die phi-Funktion angeht, hab ich jetzt vestanden (in der Vorlesung haben wir es nur kurz definiert und fertig)

und wenn die Periode nicht gleich die kürzeste Periode, dann reicht es doch wenn ich ein Beispiel hinschreibe, das mit f(9)=6, ich kann doch damit argumentieren dass 9 in diesem Fall gleich 1 ist, ode?

20.11.2005, 13:30

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Bist du dir genau im klaren, was

Zitat:

Original von studentin
die Ordnung von 10 in der primitiven Restklassengruppe (Z/n)*

ist? Wenn du das richtig verstehst, dann sollte der Nachweis, dass das die kürzeste Periode von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist, nicht mehr so schwierig sein. Und dass die Ordnung eines Gruppenelements ein Teiler der Gruppenordnung $\begin{eqnarray*} \varphi(n) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/n)^* \end{eqnarray*}$ , solltest du auch irgendwann mal gehört haben.

20.11.2005, 13:37

studentin

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also ich verstehe das so:
die Ordnung von 10 in (Z/n)*
==> für n=9 1
für n=8 2
für n=7 3
...........usw
stimmt es?

20.11.2005, 13:45

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Nein!!!

n=8 fällt völlig raus, da 8 nicht teilerfremd zu 10 ist.

Die Ordnung von 10 in $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/n)^* \end{eqnarray*}$ ist die kleinste positive ganze Zahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} 10^k\equiv 1\mod n \end{eqnarray*}$ .

Für n=9 ist das 1, und für n=7 ist das 6.

20.11.2005, 14:03

studentin

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ja du hast recht, die 8 fällt raus...........

ja stimmt 10^1 = 1 mod 9! ok, das is klar.

aber wie kann ich das exakt hinschreiben, dass es die kürzeste periode ist?

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