E(x+y) = E(x) + E(y)

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aRo Auf diesen Beitrag antworten »
E(x+y) = E(x) + E(y)
Hi!

Ich wollte mal das oben in der Thema Zeile beweisen.



aber irgendwie bin ich da total verwirrt. Ich weiß gar nicht, was ich genau darunter überhaupt verstehen soll.

Nehmen wir mal an, wir hätten diese beiden Wahrscheinlichkeitsverteilungen:

1.
X 1 2 3
P(X) 0.5 0.5 0

2.
Y 3 4 5
P(Y) 1/3 1/3 1/3


Dann ist doch und

Also ist

Wie schreibe ich das denn jetzt in der "anderen Schreibweise" auf? Das heißt ohne in zu zerpflücken?

Das wäre vielleicht mal ein erster Schritt, dass ich das beweisen könnte Augenzwinkern

Gruß,
aRo
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aRo
Wie schreibe ich das denn jetzt in der "anderen Schreibweise" auf?

Wenn ich nur wüsste, was du damit meinst. Etwa über die gemeinsame Verteilung von X und Y?
 
 
Trazom Auf diesen Beitrag antworten »

Der Erwartungswert ist eine Summe bei diskreten Verteilungen und ein Integral bei kontinuierlichen Verteilungen.

Bei diskreten:


Bei kontinuierlichen:


Und diese sind linear.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, dass aRo das weiß. Sein Problem scheint mir ein anderes zu sein.


EDIT: Übrigens, konsequent geschrieben müsstest du bei diskreten X auch die allgemeinere Formel



mit irgendeiner integrierbaren Funktion anbringen. Augenzwinkern
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

vielleicht sollte ich es anders irgendwie versuchen rüber zu bringen.

Also ich möchte jetzt im ersten Schritt mir das ganze mal an einem Beispiel deutlich machen.
Dafür habe ich mir die beiden Wahrscheinlichkeitsverteilungen ausgedacht.

So, dann habe ich beide Erwartungswerte ausgerechnet. Und dann ausgerechnet, allerdings in dem ich das ganze "zerpflückt" habe.

Das wäre also, wenn man folgende Gleichung betrachtet:



die rechte Seite.
Ich möchte jetzt anhand des Beispiels die linke Seite direkt berechnen.

Vielleicht noch eine Frage:
Nehmen wir mal an, wir hätten eine Zufallsgröße X die beschreibt die Augenzahl auf einem Würfel.
Und Y beschreibt die Augenzahl auf einem Oktaeder.
Dann ist und , wenn ichs noch richtig im Kopf hab Augenzwinkern

Dann wäre ja . Bedeutet das jetzt in Worten ausgedrückt, dass ich wenn ich einen Würfel und einen Tetraeder werfe und beide Augenzahlen zusammen zähle, ich im auf lange Sicht pro Wurf zusammen eine 8 erwarte im Schnitt?

Gruß,
aRo
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Kurz und knapp: Ja.
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

Cool :-)

Zitat:
Original von aRo


Das wäre also, wenn man folgende Gleichung betrachtet:



die rechte Seite.
Ich möchte jetzt anhand des Beispiels die linke Seite direkt berechnen.



OKay. jetzt bleibt nur noch das erstmal übrig, d.h. die linke Seite direkt zu berechnen.

Wie macht man das? Verstehst du was ich damit meine?

aRo
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich denn meine Frage von oben wiederholen:

Zitat:
Original von Arthur Dent
Etwa über die gemeinsame Verteilung von X und Y?

Sonst wüsste ich nicht, was du meinen könntest.
bil Auf diesen Beitrag antworten »

hi...
also ich glaube das sie eventuell nur das sucht:





aber sicher bin ich mir auch nicht....
gruss bil
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss gestehen, dass ich nicht genau weiß, was das bedeutet. aber ich denke mal, dass es das ist, was ich meine Augenzwinkern

Wenn ichs mir mal an einem Beispiel verdeutlicht habe, dann versteh ich es hoffentlich.

edit:
@bill:

Ja, sowas meine ich smile

Dann wäre doch aber:


und 5.5 ist ja nun mal nicht 1.5 unglücklich

Was ist denn daran falsch?
bil Auf diesen Beitrag antworten »

zur erinnerung



das hattest du in deinem vorigen bsp genau mit der summe gerechnet...
jeder benutzt eine andere notation, man hätte es auch so aufschreiben können wie Trazom.

gruss bil
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bil


Das ist ja genau der Punkt, den ich mit der Frage nach der gemeinsamen Verteilung angesprochen habe.

Zitat:
Original von bil

Hier setzt du aber bereits die Unabhängigkeit von und voraus. Das ist bei der Summe der Erwartungswerte völlig unnötig, die Formel gilt auch für abhängige Zufallsgrößen!
bil Auf diesen Beitrag antworten »

ach ja stimmt...
da hast du wohl recht, die letzte gleichung hätte ich mir sparen können...

gruss bil
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

bitte meinen edit oben beachten

Ich weiß nicht, wie man genau Bils Summenformel da dann ausrechnet.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@aRo

Deine Rechnung ist falsch.

Im allgemeinen Fall musst du erstmal die gemeinsame Verteilung von X und Y kennen. In deinem Eröffnungsbeitrag steht die nicht! Alternativ kannst du die aus den Einzelverteilungen von X und Y bestimmen, wenn du zusätzlich Unabhängigkeit voraussetzen darfst. In dem Fall ist dann die zweite Formel von bil anzuwenden.
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

könntest du diesen Teil


Zitat:
Alternativ kannst du die aus den Einzelverteilungen von X und Y bestimmen, wenn du zusätzlich Unabhängigkeit voraussetzen darfst. In dem Fall ist dann die zweite Formel von bil anzuwenden.



mal vormachen, bitte? verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Steht doch hier:
Zitat:
Original von bil

Auf dein Beispiel im Eröffnungsbeitrag angewandt ergibt das

aRo Auf diesen Beitrag antworten »

hi!

ja, wenn ich mir die Formel angucke, mache ich das aber so, wie ich das weiter oben gerechnet habe, so dass rauskommt.

Ist denn zwischen und keine Multiplikation? ...

aRo
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn "nichts" dazwischen steht, ist das eine Multiplikation - wie üblich halt. Augenzwinkern
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

aber wo ist dann mein Fehler?? verwirrt

Wieso kommt da 1.5 raus und nicht 5.5 ... traurig
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Doppelsumme über i und j enthält 3*3=9 Summanden. In deiner obigen Rechnung kann ich nur 3 entdecken.
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt habe ich kapiert, wie man diese DoppelSummen durchlaufen muss smile


okay, damit habe ich das an dem Beispiel endlich verstanden. jetzt bleibt also der eigentliche Beweis übrig.

Wie kriege ich denn jetzt diese Doppelsumme in 2 einzel Summen umgeformt?

aRo
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Indem du zunächst die eine Doppelsumme in zwei Doppelsummen zerlegst:



Und dann kannst du die beiden Doppelsummen jeweils in Produkte von Einzelsummen aufspalten:



Schließlich und endlich musst du dich daran erinnern, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 ist, und zwar sowohl für die X- als auch die Y-Werte:



Alles klar?
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

yeah cool!

Vielen Dank! Freude

Das hab ich verstanden smile

Schönen Abend noch!

aRo
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