Stetigkeit

20.11.2005, 13:37

lavender602

Stetigkeit

Hallo!

Ich komme bei zwei Aufgaben nicht weiter:

1) Sei f: $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R --> R mit

$\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{4}} \end{eqnarray*}$ falls x $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0
a, falls x=0

für ein a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R gegeben. Ist f stetig? Falls nicht, so weisen Sie etwaige Unstetigkeiten nach.

Der limes muss ja gleich dem Funktionswert sein, wenn ich nun $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{4}} \end{eqnarray*}$ [/latex], der ja $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist habe, muss also $\begin{eqnarray*} f(o) \end{eqnarray*}$ gleich a, sprich a=unendlich sein. Ich weiss nun nicht wie ich die Stetigkeit nachweisen soll, wenn ich für a keinen Zahlenwert habe.

2) sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ : [a,b] --> [a,b] mit a, b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig. Zeigen Sie, dass f einen Fixpunkt auf [a,b] besitzt, d.h. es gibt ein x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [a,b] mit $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ =x.

Da bräuchte ich einen Anstupf, wie ich beginnen soll.

Danke für eure Mühe

20.11.2005, 15:56

schnudl

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Ich würde sagen die konstruierte Funktion (1) ist unstetig.
Stetigkeit an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bedeutet ja, dass Du für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ einen $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Bereich um $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ findest, für den die Abweichungen der Funktion vom Wert an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ kleiner als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ werden.

Etwas flapsig formuliert (das ist nur eine Beweis-Skizze) : So einen Breich wirst du nie finden, da Du für jedes $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ immer ein x finden wirst, für das $\begin{eqnarray*} \vert x-x_0\vert < \delta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vert f(x) - a \vert \end{eqnarray*}$ beliebig gross, also auch grösser als ein gegebenes $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ wird.

20.11.2005, 16:31

lavender602

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Danke, klingt logisch. Aber kann man das nicht auch irgendwie mit der "Folgen-Sprache" und ohne das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ und eta Kriterium beweisen? Mit diesem Kriterium müssen wir nämlich eine andere Aufgabe beweisen.

20.11.2005, 16:37

schnudl

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Das Zeug mit $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ist das was ich kenne. Eine Folgensprache kenne ich nicht, ...

20.11.2005, 17:18

havoide

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Die beiden Aussagen (also Delta-Epsilon und Folgen) sind ja sowieso äquivalent (habt ihr sicher in der VO bewiesen), und das mit delta-epsilon hört sich nicht schwer an, ich würds auch so machen.

20.11.2005, 18:21

lavender602

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Ok, werd ich so machen, danke

20.11.2005, 19:26

Mathespezialschüler

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Die erste Funktion ist überall auf dem Definitionsbereich stetig. Von einem Funktionswert im Nullpunkt kann man nicht sprechen. Deswegen ist das auch ziemlich sinnlos, was schnudl geschrieben hat.
Zur zweiten Aufgabe kannst du $\begin{eqnarray*} g(x)=f(x)-x \end{eqnarray*}$ betrachten und den Zwischenwert- bzw. Nullstellensatz auf $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ anwenden.

Gruß MSS

20.11.2005, 21:03

schnudl

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Die erste Funktion ist überall auf dem Definitionsbereich stetig. Von einem Funktionswert im Nullpunkt kann man nicht sprechen. Deswegen ist das auch ziemlich sinnlos, was schnudl geschrieben hat.

wie bitte ?

1) die Funktion hat sehr wohl einen Funktionswert an der stelle x=0, nämlich a

2) Und zweitens ist sie aber NICHT stetig, es sei denn du verwendest eine andere Definition der stetigkeit als ich - welche hast Du denn ?

Ich denke vielmehr, dass das was du geschrieben hast sinnlos ist (zumindest für das erste Beispiel, das zweite hab ich nicht angeschaut)

Bitte beweise mir das Gegenteil !!!

--
nimms nicht persönlich

20.11.2005, 21:08

Mathespezialschüler

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Ok, ich nehme zurück, was ich gesagt habe. Tut mir leid. Gott

Nur so ist das nunmal, wenn man das Unwichtige in Latex, das Wichtige aber im Textmodus schreibt und man das übersieht.

Gruß MSS

20.11.2005, 21:09

schnudl

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hab ich mir gedacht, dass du das übersehen hast...
dann stimmen deine Aussagen nämlich !

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