Grenzwerte bestimmen Reihen

20.11.2005, 14:15	ines_85	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwerte bestimmen Reihen hi ich soll die grenzwerte von den reihen finden. bei der ersten habe ich die starke vermutung, dass man da was mit der geometrischen reihe machen muss. oder? kann mir vielleicht jemand son paar tipps näherbringen wie ich die grenzwerte aufzeigen kann? $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty ~ \frac{3+4^n}{7^n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{n=2}^\infty ~ \frac{1}{n^2-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \prod_{n=0}^\infty ~(1+ \frac{1}{2^{(2^n)}} ) \end{eqnarray}$
20.11.2005, 19:16	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, hier mal ein paar Tipps: 1) $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{3+4^n}{7^n}=3\cdot \sum_{n=0}^{\infty}~\left(\frac{1}{7}\right)^n+\sum_{n=0}^{\infty}~\left(\frac{4}{7}\right)^n \end{eqnarray}$ . 2) Partiabruchzerlegung! 3) $\begin{eqnarray} \prod_{n=0}^{\infty}~\left(1+x^{2^n}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}~x^k \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
20.11.2005, 20:25	ines_85	Auf diesen Beitrag antworten »
dankeschön. 1.) und 2.) hab ich. nur bei 3.), die verstehe ich nicht so recht.
20.11.2005, 20:35	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechne mal $\begin{eqnarray} \prod_{n=0}^k~\left(1+x^{2^n}\right)=(1+x)\left(1+x^2\right)\left(1+x^4\right)\left(1+x^8\right)\cdots \left(1+x^{2^k}\right) \end{eqnarray}$ durch gescheites Ausmultiplizieren aus. Gruß MSS
20.11.2005, 23:24	danne	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Ines, ich glaube wir besuchen die selbe vorlesung . kurze frage: meinste du kannst mir vielleicht die 2.) erklären? oder jemand anderes?
21.11.2005, 00:19	MartinWagner	Auf diesen Beitrag antworten »
partialbruchzerlegung findest du im wikipedia. heißt im konkreten fall, dass du aus 1/(n^2 - 1) eine summer von partialbrücher der Form $\begin{eqnarray} A/(n+1) + B/(n-1) \end{eqnarray}$ machst und nach ausmultiplizieren durch koeffizientenvergleich deine summe dann so aussieht: $\begin{eqnarray} -1/2\sum_{k=1}^n~1/(n+1) + 1/2\sum_{k=1}^n~1/(n-1) \end{eqnarray}$ dann kannst du noch die ein wenig die summen umherschieben, bis nur noch zwei terme ürigbleiben.
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22.11.2005, 10:23	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@MartinWagner Etwas mehr Sorgfalt: Summationsvariable und Summand bitte koordinieren; außerdem wird erst ab Index 2 summiert! $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2} \, \sum_{k=2}^n ~ \frac{1}{k+1} ~ + ~ \frac{1}{2} \, \sum_{k=2}^n ~ \frac{1}{k-1} \end{eqnarray}$

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