Gruppenhomorphismen

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Heinz Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenhomorphismen
hallo Leute,

ich häng mal wieder an einem Beweis.
Sei (G,+) eine Gruppe. Zeige: Wenn die Abb. GxG-->G, (a,b)-->a+b
ein Gruppenhomomorphismus ist, so ist G kommutativ.

Was ich bis jetzt weiß:
Da die Abb. ein Gruppenhomomorphismus ist, gilt:
f(a,b)=f(a)*f(b)
. Zu beweisen is jetzt wohl, dass f(b,a)=f(a)*f(b) sei. Stimmt der Ansatz so?

Danke im voraus
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin mir nicht ganz sicher,ob du überhaupt das grundlegende verstehst

zu zeigen ist für alle x,y y+x=y+x, da noch gar nix mit f



f(b,a)=b+a, das ist aber nix mit f(a)*f(b), estens, wo kommt das * her!?
zweitens: was ist denn f von einem element, also f(a)?


gegeben ist DAS: (ich nenne die +-abbildung auch mal f wie du)
f: GxG -> G homomorph
(a,b) -> a+b

f( (a,b)+(c,d) ) =f(a,b)+f(c,d), wobei vermutlich mit em + der tupel die komponentenweise verknüpfungn gemeint ist
Heinz Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast recht mit deiner Kritik, aber ich wills natürlich dennoch rauskriegen.

Aber nochmal zu deinem Post:

"f( (a,b)+(c,d) ) =f(a,b)+f(c,d), wobei vermutlich mit dem + der tupel die komponentenweise verknüpfungn gemeint ist"

Ich versteh nich weshalb du das formulierst?

(a,b) ist doch einfach nur GxG oder? Will ich nun die Kommutativität von G nachweisen, so müsst ich doch eigentlich

f(a,b)=f(b,a) nachweisen, oder liege ich mal wieder vollkommen daneben?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Heinz
Du hast recht mit deiner Kritik, aber ich wills natürlich dennoch rauskriegen.

Aber nochmal zu deinem Post:

"f( (a,b)+(c,d) ) =f(a,b)+f(c,d), wobei vermutlich mit dem + der tupel die komponentenweise verknüpfungn gemeint ist"

Ich versteh nich weshalb du das formulierst?

(a,b) ist doch einfach nur GxG oder? Will ich nun die Kommutativität von G nachweisen, so müsst ich doch eigentlich

f(a,b)=f(b,a) nachweisen, oder liege ich mal wieder vollkommen daneben?


hast schon recht, dass willst du nachweisen
aber ein element zu betrachten (dein eines element ist halt schon ein paar) bringt dir nicht viel,wenn du etwas mit homomorphie machen willst


das ist doch gerade das:
g: (A,*) -> (B,+) ist dann homomorph, wenn für alle x,y aus A gilt:
g(x*y)=g(x)+g(y)

in deinem falle ist A doch schon eine Menge aus Paaren, du baruchst also ZWEI paare, um die homomorphie anzugeben
Heinz Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also wäre in diesem Fall x=(a,b) und y=(c,d) gewesen?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

zum beispiel, das problem an der sache ist einfach

deine abbildung "+" ist eine abbildung von GxG nach G
also von der Gruppe (GxG) (mit welcher verknüpfung? und hier vermute ich frei raus: "+" von G, komponentenweise, nur das macht sinn) nach (G,+)


jetzt gnz in ruhe aufschreiben: was gilt, was ist zu zeigen?
 
 
Heinz Auf diesen Beitrag antworten »

Also gut. Nochmal von vorn:

Wenn (G,+) eine Gruppe und GxG-->G, (a,b) |--> a+b ein Gruppenhomomorphismusist, dann ist G kommutativ ( und umgekehrt)

Wenn ich Dich nun richtig verstanden habe, will ich folgendes zeigen

f: (a,b)x(c,d)-->(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
f: (c,d)x(a,b)-->(c,d)+(a,b)=(a+c,b+d)

==> f((a,b)x(c,d)=f(c,d)x(a,b)

Alles was ich kenn, sind die Gruppenaxiome A,N,I mit denen ich das zeigen sollte

So hab ich dich verstanden. Aber um sicher zu gehen, will ich noch eine Frage stellen.
Ich hab die Aussage GxG-->G (a,b)-->a+b so verstanden dass
f: (a x b) = f(a,b) --> a+b. Dann wären meine Elemente der Gruppe keine Tupel, und das Resultat wär auch wieder ein einzelnes Element, welches wieder in G liegt.
Was ist nun richtig oben so wie ich Dich verstanden habe oder der untere Ansatz?

Danke für die Mühen,

Heinz





edit by jochen:
auch hier, zwischen ":" und "(" immer ein leerzeichen, sonst kommt der da: unglücklich
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss ganz ehrlich sagen, dass ich mir noch keinerlei gedanken über den beeis an sich gemacht habe, werde ich heute auch nicht tun, da ich schon den ganzen nachmittag an meinem algebra1übblatt geschwitzt habe

darum werde ich nur zu den theoretischen dingen was sagen, vielleicht mag dir ja jemand sonst noch weiterhelfen


Zitat:
f: (c,d)x(a,b)-->(c,d)+(a,b)=(a+c,b+d)

woher weißt du den letzten teil!?
das stimmt nur bei assoziativer verknüpfung


ich schreibs noch mal ein wenig anders:
+: (a,b) -> a+b ist klar (ich schreibe dafür f(a,b)=a+b)

ich bezeichne jetzt insbesondere das "+" bei tupeln mit anführungszeichen, das normale ohne

gegeben also: + homomorphismus, das heißt, ob ich "ein paar erst verknüpfe und dann abbilde f[(a,b)"+"(c,d)]=f(a+c,b+d)=(a+c)+(b+d)
"oder erst abbilde, dann verknüpfe ist egal" f(a,b)"+"f(c,d)=.......


ach eigentlich stehts jetzt ja fast schon da, das einzige rpoblem ist hier wirklich, das gescheit aufzuschreiben







edit: da hatte sich ausversehen ein smiley eingschlichen
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