Metrik

25.04.2008, 10:45

Skydyke

Metrik

hallo,

ich hab da die aufgabe:

Sei (X,d) ein metrischer Raum.

a) Zeigen Sie: konvergiert eine Folge (x_n)n \in \IN und (y_n)n \in \IN sowohl gegen x \in X als auch gegeb y \in X, so gilt x = y

b) Zwei Folgen (x_n)n \in \IN und (y_n)n \in \IN heißen ¨aquivalent, wenn gilt:
lim d(x_n, y_n) = 0.
n gegen unendlich
Zeigen Sie, daß hierdurch eine A¨ quivalenzrelation auf der Menge aller Folgen in (X, d) definiert wird.

also bei b weiß ich das ich dann zeigen muss: refelxiv, symmetrisch und transitiv.

reflexiv bedeutet dass x in relation zu sich leber steht, aber wie kann ich das denn zeigen. irgendwie hab ich da keinen plan. bei symmetrie und transitivität übrigens auch nicht unglücklich

und bei a hab ich überhaupt keine idee wie ich das zeigen kann.

kann mir hier vielleicht einer helfen ?
ich bin sonst total aufgeschmissen...

danke
sabrina

25.04.2008, 10:51

klarsoweit

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RE: Metrik

Zitat:

Original von Skydyke
reflexiv bedeutet dass x in relation zu sich leber steht, aber wie kann ich das denn zeigen.

Und gerade das ist das allereinfachste. Was ist denn da laut Äquivalenzrelation zu zeigen?

Bei a nimmst du an, daß die Grenzwerte x und y der Folge (x_n) verschieden sind. Führe das mittels der Definition des Grenzwerts zu einem Widerspruch. Überlege dir das ganze auch mal mit einer Skizze.

25.04.2008, 15:09

Skydyke

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RE: Metrik
also ich habe dann zuerst die reflexivität. kann ich da verwenden das der limes genau dann gilt wenn x_n in relation zu y_n steht? ich weiß nicht genau ob ich das nur mit der folge x_n zeigen soll oder mit dem limes.

ich würde das so machen:

reflexiv: x_n in relation zu x_n, das wäre dann d(x_n,x_n) und da ist das ergebnis dann 0, weil das der Abstand der gleichen folgen sein soll. laut definition ist x = y wenn d(x,y) = 0 ist.

symmetrisch: x_n in relation zu y_n => y_n in relation zu x_n, da der Grenzwert null ist und d(x_n,y_n) gilt, denn man kann ja bei abständen die zwei einfach vertauschen. folgt aus der definition der metrik

transitiv: x_n in relation zu y_n und y_n in relation zu z_n => x_n relation zu z_n, aber wie zeig ich das? es gibt ja eine dreiecksungleichung die sagt aus, dass d(x,y) <= d(x,z) + d(z,y). kann man das irgendwie benutzen?

26.04.2008, 13:36

TobeStar81

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RE: Metrik
Die Ideen sehen sehr gut aus. Du solltest aber bedenken:

I) $\begin{eqnarray*} \forall (x_n)_{n \in \mathbb{N}}, (y_n)_{n \in \mathbb{N}}: (x_n) \sim (y_n) : \iff lim_{n \rightarrow \infty} d(x_n,y_n) = 0 \end{eqnarray*}$ (dabei steht " $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ " für "ist in Relation zu"). Du darfst beim Aufschreiben der Aufgaben den Limes auf keinen Fall unterschlagen.

II) Die Dreiecksungleichung lässt sich zum Beweis der Transitivität nutzen. Allerdings würde ich noch einmal genau überlegen: Welche Folge steht zu welcher Folge in Relation? Welche Metrik zwischen zwei Folgen auf der linken Seite der Ungleichung will ich untersuchen, damit ich auf der rechten Seite verwendbare Metriken herausbekomme?

Gruß

28.04.2008, 09:29

Skydyke

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RE: Metrik
vielen dank für die hilfe smile

ich hab mir dann mal gedanke über den anderen aufgabenteil gemacht.

ich hätte dann:

Annahme: x $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ y,
d.h. es existiert
lim x_n = x und lim x_n = y

Für eine Folge x_n kann es nur einen Punkt geben wogegen x_n konvergiert, d.h. es kann nicht sein das gilt:

lim x_n = x und lim x_n = y,

d.h. die annahme ist falsch => x=y

aber das kann ich doch nicht einfach so lassen, oder? ich brauch doch noch irgendwas formales... ich hab echt kein plan...

wär schön wenn mir da noch einmal einer helfen könnte

lg
skydyke

28.04.2008, 09:46

klarsoweit

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RE: Metrik

Zitat:

Original von Skydyke
Für eine Folge x_n kann es nur einen Punkt geben wogegen x_n konvergiert, d.h. es kann nicht sein das gilt:

lim x_n = x und lim x_n = y,

Genau das soll ja gerade bewiesen werden.

Zitat:

Original von Skydyke
aber das kann ich doch nicht einfach so lassen, oder? ich brauch doch noch irgendwas formales... ich hab echt kein plan...

Dann schreib mal als erstes die Definition des Grenzwerts hin.

28.04.2008, 10:26

Skydyke

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RE: Metrik
ja ich weiß das ich das beweisen muss, nur ich bin echt schlecht in beweise führen unglücklich

also die definition wäre dann:

x_n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ X Folge von Punkten

x_n konvergiert gegen x \in X für n -> unendlich, falls lim d(x_n,x) = 0

das hab ich als defintion aus der vorlesung.

ich galub jetzt muss man zeigen das lim d(x_n,x) = 0 ist und dies d(x_n,x)=0 wenn x_n und x gleich sind

und das muss ich dann auch mit lim d(x_n,y) = 0 zeigen, und da ist das ja auch so, dass d(x_n,y)=0 wenn x_n = y ist.

das ist doch soweit richtig oder?

und daraus kann ich dann meinen widerspruch herleiten da ja dann gilt x_n = x und x_n = y und das ist doch ein widerspruch zur annahme.

würde das so reichen?

28.04.2008, 10:39

klarsoweit

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RE: Metrik

Zitat:

Original von Skydyke
x_n konvergiert gegen x \in X für n -> unendlich, falls lim d(x_n,x) = 0

Und wie ist nun der Limes definiert? Sprich: was bedeutet der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~d(x_n, x) = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Skydyke
ich galub jetzt muss man zeigen das lim d(x_n,x) = 0 ist und dies d(x_n,x)=0 wenn x_n und x gleich sind

d(x_n,x)=0 mag zwar sein, wenn x_n = x ist. Aber das muß ja nicht zwingend sein. Schon die einfachste Folge $\begin{eqnarray*} a_n = \frac 1 n \end{eqnarray*}$ zeigt ja, daß das nie der Fall ist.

28.04.2008, 10:44

Skydyke

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RE: Metrik
der ausdruck bedeutet, dass der grenzwert von dem abstand zwischen x_n und x gleich null ist und das, dachte ich zumindestens, ist nur der fall wenn x_n und x = 0 sind

28.04.2008, 10:55

klarsoweit

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RE: Metrik
Du mußt feinfühlig unterscheiden zwischen d(x_n,x)=0 und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~d(x_n, x) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Ersteres bedeutet in der Tat, daß dann x_n = x ist. Letzteres (also das mit dem Limes) bedeutet, daß du eine Folge reeller Zahlen hast (nämlich d(x_n, x)), die gegen Null konvergiert, aber nicht zwangsläufig den Wert Null annimmt.

Also wir bleiben bei dem Limes-Begriff, der mit Sicherheit irgendwo in der Vorlesung definiert wurde.

28.04.2008, 11:10

Skydyke

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RE: Metrik
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (an) in X heißt konvergent gegen den Grenzwert a wenn gilt:

lim n gegen unendlich a_n = a gdw epsilon > 0 existiert ein N $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ für alle n > N : d(a,a_n)<epsilon

das ist das einzige was ich an definition habe. dann hab ich noch einen satz über konvergenz

der besagt dass: konvergenz im euklidischen IR ^n ist äquivalent zu komponentenweiser Konvergenz

wie hilft mir das denn jetzt weiter? auf jedenfall denk ich das ich verstanden hab, was das mit dem grenzwert bedeutet smile

ein positiver erfolg...

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

28.04.2008, 11:24

klarsoweit

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RE: Metrik

Zitat:

Original von Skydyke
lim n gegen unendlich a_n = a gdw epsilon > 0 existiert ein N $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ für alle n > N : d(a,a_n)<epsilon

Fast richtig. Genau muß es heißen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~a_n = a \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ für alle epsilon > 0 existiert ein N $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so daß für alle n > N gilt: $\begin{eqnarray*} d(a,a_n)< \epsilon \end{eqnarray*}$

Jetzt schreibst du das mal hin für die Folge x_n, die sowohl gegen x als auch gegen y konvergiert. Statt epsilon nimmst du d(x; y)/3.

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