Zeit t = null berechnen bei f(x,y)

25.04.2008, 10:53

Sakija

Zeit t = null berechnen bei f(x,y)

hallo,

habe hier eine Aufgabestellung für eine Funktion, bei der ich nicht weis was ich machen soll:

Durch z=f(x,y) ist eine Fläche gegeben mit der Parametrierung x = x(t) und y=y(t) wählen wir eine Kurve auf dieser Fläche aus. Anschaulich: (x(t), y(t)) beschreibt die Bahnkurve einer Figur in einer Computeranimation die sich im Zeitvlerauf t auf der Fläche bewegt.

"Zu welcher Zeit t und an welchen Stellen x,y hat die Figur die Bahngeschwindigkeit null."
[latx]z=f(x,y,) = e^{xy}[/latex]

die parameter x und y hängen noch von dem parameter t ab $\begin{eqnarray*} x(t) = t^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=t \end{eqnarray*}$

mir fehlt hier der generelle Ansatz, wie muss ich daran gehen. jemand einen tipp?

25.04.2008, 11:04

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Aus $\begin{eqnarray*} x(t),y(t) \end{eqnarray*}$ kannst du auch $\begin{eqnarray*} z(t) = f(x(t),y(t)) \end{eqnarray*}$ bestimmen, die dritte Komponente deiner Kurve.

Was heißt nun "Bahngeschwindigkeit Null" ? Nun, im euklidischen Raum hier einfach $\begin{eqnarray*} v = \sqrt{(\dot{x}(t))^2 + (\dot{y}(t))^2 + (\dot{z}(t))^2} = 0 \end{eqnarray*}$ . D.h., zu dem gewissen Zeitpunkt müssen alle drei Ableitungen der Raumkomponenten nach der Zeit gleich Null sein:

$\begin{eqnarray*} \dot{x}(t) = \dot{y}(t) = \dot{z}(t) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Über diese Bestimmungsgleichung dürfte es doch nicht mehr so schwer sein, den oder die Zeitpunkte $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ zu finden. Möglicherweise gibt es aber auch gar keine solchen Zeitpunkte. Augenzwinkern

26.04.2008, 16:59

Sakija

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also ich habmal abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = e^{xy} \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} f_x(x,y) = e^{xy}y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_y(x,y) = e^{xy}x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x(t) = t^2 \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} x_t(t) = 2t \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} y(t)=t \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} y_t(t) = 1 \end{eqnarray*}$

meine ableitung nach f(x,y) nach t sieht dann so aus(mit kettenregel):
$\begin{eqnarray*} f_t(x,y) = e^{t^3} \cdot 3t^2 \end{eqnarray*}$

die setze ich jetzt null und löse nach t auf um den zeitpunkt zu bekommen wo die immer null wird ?

und wie komme ich dann an die koordinaten dran, am welchen punkt ich mich dann grade befinde?

26.04.2008, 23:04

Sakija

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???

27.04.2008, 09:01

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Nochmal, nur mit deiner Terminologie der Zeitableitungen geschrieben:

Zitat:

Original von Arthur Dent
D.h., zu dem gewissen Zeitpunkt müssen alle drei Ableitungen der Raumkomponenten nach der Zeit gleich Null sein:

$\begin{eqnarray*} x_t(t) = y_t(t) = z_t(t) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Nun hast du aber bereits richtig $\begin{eqnarray*} y_t(t)=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ berechnet. Was ist daraus zu folgern?

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