6 x würfeln mit idealem Würfel

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Ligh7ning Auf diesen Beitrag antworten »
6 x würfeln mit idealem Würfel
Hallo, kann mir nochmal wer weiterhelfen?

Beim sechsmaligen Werfen eines idealen Würfels bezeichne U die Anzahl der aufgetretenen Einsen und S die Anzahl der aufgetretenen Sechsen.

Berechnen Sie: EU, ES, D^2U, D^2S

Ich hab mir folgendes überlegt:









Das kommt mir aber irgendwie zu einfach vor... Augenzwinkern
Jeff Auf diesen Beitrag antworten »

also ich versteh im Moment nicht was dein ES und EU heissen soll(Ereignis Null und Ereignix Sechs oder wie?) und DS und D^2U versteh ich schon garnicht was das sein soll.... EDIT: Delta^2S und Delta^2U?

Falls dein erste als ES die WK dafuer sein soll, dass eine Sechs gewuerfelt wird, dann brauchst du ja garnicht weiter zu denken, du hast ja eine WK von 1raus, dass bedeutet in der Stochastik IMMER UND KEIN WEG GEHT DRAN VORBEI! Das wuerde heissen, du hast grad ausgerechnet, dass man mit einem Wuerfel IMMER eine Sechs wuerfelt und gleichzeitig immer eine eins! Muss nen interessanter Wuerfel sein den du da hast Augenzwinkern

So um das ganze auszurechnen geht man da mit der Binomialverteilung ran, weil's Versuche sind, die vollkommen unabhaengig von einander sind. Die WK in einem Wurf ne Sechs bzw. ne EIns zu wuerfeln ist 1/6 ganz logisch, jetzt die Binomialverteilung von n = 6 (6 Wuerfe), p=1/6 und k = 1-6, da wenn ich 6 Sechsen geworfen hab ist das Ereignis "Sechsgeworfen ja auch eingetrehten!
Und wenn du jetzt die Binomialverteilung bd(6,1/6,k) ausrechnest und k von 1 bis 6 laufen laesst, dann erhaelst du eine Verteilung, die die Wahrscheinlichkeiten anzeigt k Sechsen zu werfen. Wenn du wissen willst wie wahrscheinlcih es ist ueberhuapt ne Sechs zu werfen dann wird einfach die Summe darauf gebildet, die sollte .6651 betragen.

Falls die Aufgabenstellung anders gemeint war --> melden und genau formulieren!!
 
 
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

U ist ja eine Zufallsgröße, die die Werte von 0 bis 6 annehemen kann.
Um jetzt Erwartungswert und Varianz berechnen zu können musst du erst mal die Verteilung berechnen.
Und wenn du die hast, dann kannst du in



einsetzen.

Jetzt alles klar?

Gruß
Anirahtak
Ligh7ning Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Jeff,

mit EU ist der Erwartungswert von U gemeint, und
mit D^2U die Streuung von U

wobei U eine Zufallsvariable ist.

Das EU was ich ausgerechnet hab soll der Erwartungswert von Einsen sein (bei 6 Würfen).

Stimmt, mit der Binomialverteilung kann man z.B. die Wkt für k Einsen berechnen, die ist aber in dieser Aufgabe nicht gemeint. Augenzwinkern
Jeff Auf diesen Beitrag antworten »

Jojo, aber wenn du den Erwartungswert ausrechnen willst, dann nimmst du jetzt wie Anirahtak meinte jede Wskt. und multiplizierst die mit U und der erhaelst den Erwartungswert von U also E(U).
Ligh7ning Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, habs nochmal versucht:

Nach der Binomialverteilung ist

P(S = 0) = 0.3348...
P(S = 1) = 0.4018...
P(S = 2) = ...
usw...

Dann kommt bei mir raus



Oder mach ich da noch was falsch?
Jeff Auf diesen Beitrag antworten »

jo macht doch auch Sinn, weil wenn ich mcih nicht irre ist bei einer Binomialverteilung doch der Erwartungswert = n * p und die Sigma = (n*p*q)^(1/2) also also die Standartabweichung = n*p*q.....
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswerte
Die erste von Dir genannte Lösung ist korrekt. Wozu der ganze Aufwand mit der Binomialverteilung (was natürlich auch geht)?

Es bezeichne U1 die Anzahl der Einsen beim ersten Wurf, U2 die Anzahl der Einsen beim zweiten Wurf ... und U6 die Anzahl der Einsen beim sechsten Wurf. Dein U ist dann U = U1 + U2 + ... + U6 .
Jede der sechs Zufallsgrößen nimmt nur die Werte 0 (und zwar mit Wahrscheinlichkeit 5/6) und 1 (mit Wahrscheinlichkeit 1/6) an. Also haben alle sechs Zufallsgrößen (Bernoulli-Größen) denselben Erwartungswert 0·(5/6)+1·(1/6) = 1/6 und die Varianz (1/6)·(5/6) = 5/36.

Also gilt (Additivität des Erwartungswertes):
E(U) = E(U1+U2+...+U6) = E(U1)+E(U2)+...+E(U6) = 6·(1/6) = 1

Und ebenso wegen der Unabhängigkeit (!!!) von U1,...,U6 (!!) für die Varianz V:
V(U) = V(U1+U2+...+U6) = V(U1)+V(U2)+...+V(U6) = 6·(5/36) = 5/6

Soweit eine formelmäßige Lösung.
[Im übrigen gilt für jede binomialverteilte Zufallsgröße U mit den Parametern n (=Anzahl der Durchführungen eines Bernoulli-Experimentes) und p (=Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs bei einmaliger Durchführung des Bernoulli-Experiments) E(U)=n·p und V(U)=n·p·q mit q=1-p. Bei dir ist n=6 und p=1/6.]


Aber mit dem gesunden Menschenverstand geht's ja auch (wie in deiner ersten Lösung)! Erwartungswert bedeutet doch: Mit welchem durchschnittlichen Wert ist zu rechnen?
Es ist doch klar, daß man bei 6 Würfen im Durchschnitt mit genau 1 Eins rechnet!
Ligh7ning Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch!

@Leopold: Gute Erklärung, kam mir auch logisch vor dass der Erwartungswert 1 ist, aber jetzt kenne ich auch die formelle Lösung 8)
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

...und es zeigte sich mal wieder, dass viele Wege nach Rom führen. Augenzwinkern

@Leopold: Schöne Lösung!

Gruß
Anirahtak
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