Nichtlineare analytische Geometrie - Ellipsen

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MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »
Nichtlineare analytische Geometrie - Ellipsen
Guten Abend.

Les mich gerade ein bisschen in die nichtlineare analytische Geometrie ein.
Aber ich finde keine logische oder rechnerische Begründung, wieos die Brennpunkte F1 und F2 symmetrisch um den Mittelpunkt M auf der Hauptachse liegen müssen, damit die Summe der Abstände konstant bleibt. Kann jemand helfen? Wäre sehr dankbar. Prost
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist denn der Mittelpunkt bei dir definiert?

Gruß MSS
 
 
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Mittelpunkt ist der Ursprung des Koordinatenkreuzes.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte eigentlich wissen, wie der Mittelpunkt einer Ellipse definiert ist!

Gruß MSS
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Steht nicht im Mathebuch. unglücklich
Aber ich schätze mal, das ist der Punkt der jeweils von den Scheitelpunkten der Hauptachse bzw. der Nebenachse gleich weit entfernt ist.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Da die Ellipse ein symmetrisches Gebilde ist, ist doch klar dass die
Brennpunkte ebenfalls symmetrisch liegen müssen.

Symmetrisch zum Urspung liegen sie nur, wenn auch die Ellipse
symmetrisch zum Ursprung liegt . Augenzwinkern
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff
Da die Ellipse ein symmetrisches Gebilde ist, ist doch klar dass die
Brennpunkte ebenfalls symmetrisch liegen müssen.


Ist das denn wirklich logisch?
Ein logischer Schritt ist doch erst dann vorhanden, wenn dieser Schritt aus dem vorhergehenden Fakten zwingend auftreten muss.
Aber die Symmetrie der Ellipsen scheint mir nicht gerade die Symmetrie der Punkte zu erzwingen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, dass es so ist, dass du uns nacheinander erstmal alle Begriffe der Ellipse exakt definieren musst, die du in deiner Behauptung benutzt.
Sonst geht es wohl nicht. Und selbst dann, denke ich, ist es eine triviale Folgerung.

Gruß MSS
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definitionen stehen leider nicht im Mathebuch, aber ich versuche es mal aus dem Sinnzusammenhang zu definieren:

Hauptachse:=die Achse des Koordinatenkreuzes, welche den größeren Abstand zw. den Scheitelpunkten (ich hoffe, es ist klar, was die Scheitelpunkte einer Ellipse sind) aufweist.

Nebenachse:=Achse mit kürzerem Abstand der Scheitelpunkte.

Mittelpunkt:=Punkt, welcher in der Mitte der Strecke der Scheitelpunkte auf der Hauptachse bzw. der Nebenachse liegt.
Stimmt mit dem Ursprung überein.

Brennpunkte:=Punkte, mit deren Hilfe die Ellipsen definiert sind. Sie liegen auf der Hauptachse.

Die Hauptachse ist in diesem Beispiel die x-Achse(=1. Hauptlage der Ellipse).
Der Mittelpunkt stimmt mit dem Ursprung des Koordinatenkreuzes überein.



Ich hoffe, dass hilft euch weiter. Und ich bin bis jetzt immer noch nicht hinter die Schlussfolgerung gekommen. Ich versuch es mir ständig vorzustellen, schaff es aber nicht.

//edit: eine Definition fehlt noch; Ellipse:=Menge aller Punkte deren Summe der Abstände XF1 und XF2 konstant bleibt.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Die Scheitelpunkte sind hier grad das Wesentliche! Die solltest du auch noch ordentlich definieren (womit es dann wahrscheinlich trivial wird).

Gruß MSS
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

MrPSI, schön deine Definition, definiere ruhig noch etwas weiter.

Die Ellipse lässt sich auf unterschiedliche Arten definieren,
je nachden von wo du kommst und wohin du willst. Was in dem
einen Fall Definition ist, ist im anderen Fall Folgerung und umgekehrt.


Deine Ellipse schein mir aber schon jetzt überdefiniert . Augenzwinkern
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Und selbst dann, denke ich, ist es eine triviale Folgerung.

Zitat:
Die solltest du auch noch ordentlich definieren (womit es dann wahrscheinlich trivial wird).

neues wort gelernt, max? smile
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Wie könnte man "Scheitelpunkt" definieren?

Ich versuchs mal mit Hilfe der Steigung:
Scheitelpunkt:=ein Punkt, an dem sich das Vorzeichung der Steigung eines Graphen umdreht. Das sieht man ziemlich gut an einer Parabel.

Und noch etwas zur Defintion der Ellipse: F1, F2 sind die beiden Brennpunkte und X ein belieber Punkt auf dem Ellipsengraph.

Zitat:
Original von Poff
Deine Ellipse schein mir aber schon jetzt überdefiniert.


"überdefiniert" verwirrt
ja das sind die Segnungen der deutschen Sprache. Augenzwinkern
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs mittlerweile selbst rausgefunden.
Und zwar hab ich es so erklärt:

Angenommen die zwei Brennpunkte F1 und F2 liegen symmetrisch um den Mittelpunkt(=Ursprung) der Ellipse, wobei F1 links von F2 liegt.
Jetzt setzt man noch rechts von F2 einen Punkt X1 der Ellipse auf die Hauptachse, womit X1 auch ein Scheitelpunkt ist. a ist der Abstand zw. Scheitelpunkt und Mittelpunkt und e ist Abstand zw. Mittelpunkt und Brennpunkt.
Dann gilt für die Summe der Abstände
Jetzt wird X1 an der Nebenachse gespiegelt, was möglich ist, da die Ellipse ein axialsymmetrisches Gebilde ist.
Und da das Ganze ja symmetrisch ist gilt: X1F2=X2F1 und X1F1=X2F2
(Das lässt sich auch noch mit Formeln stützen, ist aber unnötig).
Für die Summe der Abstände d bei X2 gilt: .
Damit ist bewiesen, dass die Summe der Abstände wirklich konstant ist, wenn die beiden Brennpunkte F1 und F2 auf der Hauptachse liegen und zum Mittelpunkt symmetrisch sind.

Ich hoffe, dass ich die Begründung so stehen lassen kann.
Ich hab hier einen Spezialfall hergenommen, weil es da besonders einfach ist, aber das lässt sich auf jeden anderen Punkt und seine Spiegelung übertragen.
Und das könnte man auch als Widerspruchsbeweis formulieren, bei dem annimmt, dass die Brennpunkte nicht symmetrisch sind.
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