Äquivalenzrealtion, Reräsentantensystem |
| 21.11.2005, 01:13 | The_Lion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Äquivalenzrealtion, Reräsentantensystem Betrachte auf der Menge IN x IN die Relation (a,b) ~ (c,d) :<=> a+b = c+d a) Zeige, dass das eine Äq.relation ist. b) Zeige, dass eine Bijektion f: INxIN / ~ --> Z (ganze Zahlen) exisitiert. a) Hab ich gezeigt, war nicht schwer.. b) Seien (a,b), (c,d) € IN^2. (a,b)~(c,d) <=> a+d = b+c <=> a+d - (b+c) = 0 f(a+d-(b+c) ) = 0 € Z f(a+d) = b+c, d.h. -(a+d) = b+c , (b+c)€ Z ist invers zu (a+d) € Z Somit sind also alle ganzen Zahlen abgedeckt, also ist f surjektiv. Seien f(a+d) = b+c und f(a+d) = e+f => b+c = e+f mit [b=c und e=f] oder [b=e und c=f] oder [b=f und c=e], denn b,c,d,f € IN => f injektiv => f bijektiv. Ich weiss nicht, ob man das so machen kann. Hab ich mich da völlig vertan oder ist das der korrekte Weg ? Danke. |
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| 21.11.2005, 01:30 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
schreibst du eigentlich irgendwo hin, was deine funktion f macht?
was bringt das, was macht das!? bitte erkläre das! auch wenn es vielleicht nicht sinnvoll ist, mache ich dir mal einen alternativvorschlag, wie ich das angehen würde: die äquivalenzklassen kannst du ja gerade mit den natürlichen zahlen in verbindung bringen (bzw. falls deine natürlichen zahlen keine 0 haben, dann eben mit den natürlichen zahlen ohne 1) n "quer" z.b. ist dann die äquivalenzklasse von den paaren, deren summe n ist danach ist es relativ leicht, wenn du weißt, dass die ganzen und die natürlichen zahlen gleichmächtig sind... |
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| 21.11.2005, 20:07 | The_Lion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f soll jedem geordneten Paar aus IN x IN eine ganze Zahl zuordnen. allerdings unter der Berücksichtigung der Relation, hmmm. das Paar (0,0) wäre schonmla gar nicht enthalten, da 0 nicht in IN liegt. f: IN x IN --> Z Aus der Gleichung a+d = b+c folgt a+d - (b+c) = 0 , naja, zu deinem Ansatz. wie bekomme ich denn mit Deinem Ansatz die Inversen in Z raus ? Tut mir leid, aber ich blicke da noch nicht so ganz durch.
Meinst du hier nicht vielleicht: ", dann eben mit den natürlichen zahlen ohne 0)" ? edit: Wenn ich in IN^2 bin, wie kann ich überhaupt zeigen, dass die "0" € Z getroffen wird von einem Element aus IN^2. Da ich nur Paare aus ELementen von IN bilden darf, macht die Gleichung a+d = b+c keinen Sinn , da 0 nicht in IN enthalten ist !? |
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| 24.11.2005, 21:55 | The_Lion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich weiss ja, man soll threads nicht pushen, aber... |
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| 24.11.2005, 22:18 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das einzige, was ich dir (neben meinem tipp oben) noch erklären kann, ist meine aussage von oben, mit den natürlichen zahlen ohne 1 ich meinte tatsächlich ohne 1, denn wenn deine natürlichen zahlen ab 1 laufen, dann ist die summe zweier davon auch immer mindestens 2 deine äquivalenzklasse "2" entspräche allen paaren, die als summe 2 haben, also 2 wäre die klasse, die nur (1,1) enthält "3" wäre die klasse, die eben die paare (1,2),(2,1) enthält usf. das es keinen sinn macht, eine klasse "1" zu definieren ist klar.... MIT 0 sieht das anders aus, da ist "0" die klasse, die nur (0,0) enthält, "1"die klasse mit.... |
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