Integral 1/x ohne Hauptsatz und Stammfkt

25.04.2008, 16:31

Dunkit

Integral 1/x ohne Hauptsatz und Stammfkt

Hallo alle zusammen,
entweder hat sich bei mir der Fehlerteufel eingeschlichen, oder ich Habe gerade ein sehr großes Brett vorm Kopf.

Ich soll $\begin{eqnarray*} \int _1 ^b \frac{1}{x} dx \end{eqnarray*}$ bestimmen, ohne den HS bzw eine Stammfkt von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ zu verwenden.

Ich habe mir dazu eine Zerlegung $\begin{eqnarray*} Z = \{ x_0 = 1, x_1 = b^{\frac{1}{n}}, x_2 = b^{\frac{2}{n}}, \ldots, b \} \end{eqnarray*}$ des intervalls [1,b] sowie eine Treppenfunktion $\begin{eqnarray*} \phi_n(x) |_{x_{k-1}, x_k} = \frac{1}{x_{k-1}}, (k=1,\ldots n) \end{eqnarray*}$ gebaste.

Nun ist doch nach Definition
$\begin{eqnarray*} \int _1 ^b \phi_n (x) dx = \sum _{k=1} ^n ( \frac{1}{x_{k-1}} (x_k - x_{k-1})) = \sum_{k=1} ^n(\frac{x_k}{x_{k-1}} -1) \end{eqnarray*}$
Setzen wir nun ein, erhalten wir
$\begin{eqnarray*} ...=\sum_{k=1} ^n \frac{b^{\frac {k} {n} } } {b^{\frac {k-1} {n} } } - 1 = \sum_{k=1} ^n (b^{\frac{1}{n}}-1) = n(b^{\frac{1}{n}}-1) \end{eqnarray*}$

So jetzt müsste ich ja $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ gehen lassen...

aber ich möchtre doch auf $\begin{eqnarray*} \ln(b) \end{eqnarray*}$ kommen...

fehlt einfach nurnoch eine Umformung oder habe ich mich verrechnet?!

25.04.2008, 16:36

tmo

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Es ist tatsächlich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} n(b^{\frac{1}{n}}-1) = \ln (b) \end{eqnarray*}$ .

Versuche das mal zu zeigen.

25.04.2008, 17:50

Dunkit

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hm ich bekomme das iwie nicht gebacken...

Welche Eigenschaft(en) soll ich denn ausnutzen?

25.04.2008, 17:56

WebFritzi

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Du brauchst dazu den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1. \end{eqnarray*}$

EDIT: Es ist $\begin{eqnarray*} b^{1/n} = e^{\frac{1}{n}\,\ln(b)}. \end{eqnarray*}$

25.04.2008, 17:57

Mathespezialschüler

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Tja, die Frage ist viel eher, welche Eigenschaften du benutzen darfst ...

Wenn dir z.B. bekannt ist, dass $\begin{eqnarray*} \exp'(0)=1 \end{eqnarray*}$ gilt, sollte das schon ausreichen.

25.04.2008, 17:58

Dunkit

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@Webfritzi: den Grenzwert hatten wir noch nicht...

25.04.2008, 18:00

tmo

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Hattet ihr denn $\begin{eqnarray*} e = \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$ ? Das würde auch schon ausreichen.

25.04.2008, 18:00

WebFritzi

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Wenn ihr wisst, dass $\begin{eqnarray*} \left(e^x\right)' = e^x \end{eqnarray*}$ gilt, dann hattet ihr ihn doch.

25.04.2008, 18:01

Dunkit

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jo den ja.... nagut, dann werde ich mich damit nochmal ranmachen ^^

25.04.2008, 18:12

WebFritzi

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Zitat:

Original von Dunkit
@Webfritzi: den Grenzwert hatten wir noch nicht...

Auch wenn ihr ihn noch nicht hattet, kannst du ihn ganz einfach mithilfe der Reihendarstellung von e^x zeigen:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^x - 1}{x} = \frac{1}{x}\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!} - 1\right) = \frac{1}{x}\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k!} = \sum_{k=1}^\infty\frac{x^{k-1}}{k!} = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + \dots \end{eqnarray*}$

Und das konvergiert gegen 1, wenn x gegen Null strebt.

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