Explizite Darstellung einer rekursiv definierten Folge

21.11.2005, 19:01

Gast123

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Explizite Darstellung einer rekursiv definierten Folge

Hallo,

ich grüble schon eine Weile, habe aber keine Idee, wie ich diese Folge explizit darstellen kann.

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \sqrt{1+a_n} \end{eqnarray*}$

Hat irgendjemand eine Idee oder eine Ansatz?

Danke schonmal im Voraus!

PS: Index bei Def. leider verrutscht ich hoffe, ihr wisst was ich meine Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit (AD): Bei LaTeX-Indizes geschweifte Klammern {} verwenden.

21.11.2005, 19:06

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Da wirst du wenig Erfolg haben - es sei denn, du akzeptierst etwas wie

$\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{\cdots +\sqrt{1+ \sqrt{2}}}}}}} \end{eqnarray*}$

als eine explizite Darstellung. Mit dem Grenzwert dieser Folge sieht es schon besser aus, der lässt sich relativ einfach bestimmen.

21.11.2005, 19:21

Gast123

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Hm, ja den suche ich auch. Ich dachte, den kann ich gut über die explizite Darstellung finden.
Hast du dazu einen aderen Vorschlag?

Vielleicht über die Monotonie?

21.11.2005, 19:35

AD

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Ja, Monotonie und Beschränktheit sichern die Existenz dieses Grenzwertes. Aber welche Monotonie (steigend/fallend), das hängt noch vom Startwert ab, den du noch nicht genannt hast!

21.11.2005, 19:39

Gast123

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Startwert ist $\begin{eqnarray*} a_0= -1 \end{eqnarray*}$

Folge ist monoton steigend, das habe ich schon rausgefunden und bewiesen. Beschränkt ist sie unten durch -1. Die obere Grenze habe ich noch nicht raus, da hab ich noch arge Probleme...d.h. Grenzwert ist wohl noch unklar.

21.11.2005, 20:49

AD

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Allgemeiner: Wenn $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ rekusiv definiert ist gemäß $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=g(a_n) \end{eqnarray*}$ mit einer stetigen Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , und zudem konvergent gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , dann muss $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ein Fixpunkt von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ sein, d.h., $\begin{eqnarray*} a=g(a) \end{eqnarray*}$ .

Aber Achtung: Die "Umkehrung" gilt nicht, d.h., weder muss ein Fixpunkt von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ der Grenzwert der Folge sein, noch kann aus der Existenz solcher Fixpunkte überhaupt auf die Konvergenz der Folge geschlossen werden. Dazu bedarf es zusätzlicher Kriterien.

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22.11.2005, 16:12

Leopold

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Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{\cdots +\sqrt{1+ \sqrt{2}}}}}}} \end{eqnarray*}$

Und es soll tatsächlich Leute geben, die Mathematik nicht ästhetisch finden.

22.11.2005, 16:16

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Das musst du mal mit dem M$-Formeleditor von Word versuchen... Viel Spaß!

28.03.2006, 19:28

system-agent

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Allgemeiner: Wenn $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ rekusiv definiert ist gemäß $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=g(a_n) \end{eqnarray*}$ mit einer stetigen Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , und zudem konvergent gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , dann muss $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ein Fixpunkt von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ sein, d.h., $\begin{eqnarray*} a=g(a) \end{eqnarray*}$ .

Aber Achtung: Die "Umkehrung" gilt nicht, d.h., weder muss ein Fixpunkt von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ der Grenzwert der Folge sein, noch kann aus der Existenz solcher Fixpunkte überhaupt auf die Konvergenz der Folge geschlossen werden. Dazu bedarf es zusätzlicher Kriterien.

würde es dir was ausmachen, mir das verfahren genauer zu erläutern, evtl anhand eines einfachen beispiels?

gruß, system-agent

28.03.2006, 19:35

AD

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Nehmen wir doch die Folge $\begin{eqnarray*} a_0 = 1,\; a_{n+1} = \frac{6(1+a_n)}{7+a_n} \end{eqnarray*}$ aus Thread

rekursive Folgen

Dann ist $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{6(1+x)}{7+x} \end{eqnarray*}$ , die Fixpunktgleichung $\begin{eqnarray*} a=g(a) \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{6(1+a)}{7+a}=a \end{eqnarray*}$ . Nach Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} 7+a \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} 6+6a=7a+a^2 \end{eqnarray*}$ , also eine quadratische Gleichung. Die hat die Lösungen $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=-3 \end{eqnarray*}$ . Als Grenzwert kommt aber höchstens der erste Wert in Frage, da die vorliegende Rekursion bei Startwert $\begin{eqnarray*} a_0=1 \end{eqnarray*}$ immer positiv bleibt.

Mehr sagt der Beitrag von mir erstmal nicht aus: Wenn es überhaupt einen Grenzwert gibt, dann kann das nur a=2 sein. D.h., dass der Grenzwert dann auch wirklich existiert, muss noch gesondert gezeigt werden!

28.03.2006, 19:44

system-agent

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vielen dank Augenzwinkern

Augenzwinkern

um dann zu zeigen, dass dies wirklich der grenzwert ist, kann man wie sonst auch vorgehen, also beschränktheit und strenge monotonie zeigen...

28.03.2006, 19:47

AD

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Sofern das mit der Monotonie zutrifft, ja.

25.07.2008, 22:40

Manni Mond

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Es gilt:

a = lim an = lim an+1

daher a = \sqrt{1 + a }

Nach a umgestellt ergibt sich

\frac{1\pm \sqrt{5} }{2} Das ist der Grenzwert!!

Dann muss man nur noch beweisen das die Folge konvergiert.

0<an-1 - a<\frac{1}{2^{n} }a0 -a für n gegn unendlich 0

26.07.2008, 10:00

Huggy

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Das musst du mal mit dem M$-Formeleditor von Word versuchen... Viel Spaß!

Das ist mit dem MS-Formeleditor nun wirklich ein Klacks.

26.07.2008, 10:27

AD

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Ob LaTeX oder Word, das steht natürlich jedem frei. Genauso wie das Posten in Threads, die eigentlich seit über einem Jahr erledigt sind... Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: Ach, verlesen ... seit über 2 Jahren .

06.11.2008, 00:05

trunx

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Lösung
auch wenn der thread etwas älter ist, die Lösung ist relativ einfach:

$\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt{n +a^2_o} \end{eqnarray*}$

bye trunx

06.11.2008, 00:16

Airblader

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mit Sicherheit nicht ...

air

06.11.2008, 07:06

AD

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Da verwechselt wohl ein Schlaumeier die Rekursion $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \sqrt{1+a_n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \sqrt{1+a_n^2} \end{eqnarray*}$ . Finger1

Finger1

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