Inklusion Exklusion auf Wahrscheinlichkeiten anwenden

21.11.2005, 19:05

TheMan

Inklusion Exklusion auf Wahrscheinlichkeiten anwenden

Hallo zusammen,

ich hätte gern eure Meinung gehört, zu folgender Aufgabe und meinem Lösungsansatz bzw. Problem...

Aufgabe: Angenommen 60% aller Studenten der Universität Konstanz fahren Ski, 50% der Studenten spielen Tennis und 65% spielen Schach; 45% haben jeweils genau 2 der 3 Hobbies. Benutzen sie das Inklusions-Exklusionsprinzip, um den maximalen Prozentsatz der Studenten zu bestimmen, welche allen 3 Hobbies nachgehen.

Ich habe als Hilfestellung folgende Zeichnung gemacht:

http://www.gohren.com/unimportant/studentenproblem.jpg

Die Mengen sind folgendermaßen definiert:

M = Menge aller Studenten
A = Menge aller Studenten, die Ski fährt
B = Menge aller Studenten, die Schach spielt
C = Menge aller Studenten, die Tennis spielt
a = Menge aller Studenten, die NUR Ski fährt
b = Menge aller Studenten, die NUR Schach spielt
c = Menge aller Studenten, die NUR Tennis spielt
d = Menge aller Studenten, die Ski + Tennis macht
e = Menge aller Studenten, die Ski + Schach macht
f = Menge aller Studenten, die Schach + Tennis macht
x = Menge aller Studenten, die Ski + Schach + Tennis macht

Mein Lösungsansatz für die Wahrscheinlichkeit wäre gewesen:
$\begin{eqnarray*} P(x) = (A\cap B \cap C) = (|A| \cdot |B| \cdot |C|) = (0,6 \cdot 0,65 \cdot 0,5) = 0,195 = 19,5 % \end{eqnarray*}$

Jetzt meine Frage(n): Ist dieser Prozentsatz richtig ?
Wenn ja, wie kann ich das Inklusions-Exklusionsprinzip (Siebformel) dazu benutzen auf dieses Ergebnis zu kommen ?

Falls der Lösungsansatz falsch ist, könnte mir vllt. jemand einen heißen Tip geben, da ich schon etliche Stunden alle möglichen Kombinationen mit der Siebformel ausprobiert hab und noch nichts brauchbares rausgebracht hab.

Ich hab die Siebformel eigentlich so verstanden, dass man damit die Vereinigung der 3 Mengen A,B,C ausrechnen kann (das gelingt mir auch) indem man alternierend die Schnitte abzieht und hinzufügt. Einen Schnitt von Wahrscheinlichkeiten kann mann doch normalerweise durch simple Multiplikation ausrechnen ?

Korrigiert mich bitte, wenn ich irgendwo einen Fehler drin hab.

Vielen Dank im Voraus für die Antwort.

MfG
TheMan

21.11.2005, 19:16

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Zitat:

Original von TheMan
Mein Lösungsansatz für die Wahrscheinlichkeit wäre gewesen:
$\begin{eqnarray*} P(x) = (A\cap B \cap C) = (|A| \cdot |B| \cdot |C|) = (0,6 \cdot 0,65 \cdot 0,5) = 0,195 = 19,5 % \end{eqnarray*}$

Jetzt meine Frage(n): Ist dieser Prozentsatz richtig ?

Nein, das ist falsch. Abgesehen von der abenteuerlichen Schreibweise setzt du hier Unabhängigkeit der drei Hobbies voraus, davon kann hier keine Rede sein. Du hast doch schon den Haupttipp bekommen, nämlich Inklusion-Exklusion:

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B\cup C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du das noch ein wenig weiter umformen, um die Information über die "genau 2 der 3 Hobbies" reinzubringen und am Ende dann daran denken, dass $\begin{eqnarray*} P(A\cup B\cup C) \end{eqnarray*}$ als Wahrscheinlichkeit ja auch gewissen Schranken unterliegt...

21.11.2005, 19:47

TheMan

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uii das ging ja schnell. Danke für die prompte Antwort.

Mein Problem an der ganzen Sache ist, dass ich irgendwann mal in der 10. Klasse 3 Wochen Wahrscheinlichkeitsrechnung hatte, und dann gar nicht mehr.

Nur kurz zum Verständnis. Ist meine Zeichnung soweit richtig, und ist x wirklich die gesuchte Menge ? ( P(x) ist ja falsch laut vorherigem Post ).

Zitat:

Jetzt musst du das noch ein wenig weiter umformen, um die Information über die "genau 2 der 3 Hobbies" reinzubringen

laut Zeichnung wären diese 45% dann Folgendes (Z sei die Menge, derjeniger Studenten, die 2 von 3 Hobbies haben):
$\begin{eqnarray*} |Z| =|d|+|e|+|f| \end{eqnarray*}$

stimmt das erstmal ? nicht, dass ich hier weitermach und die grundlagen sind falsch.

Danke nochmal

21.11.2005, 20:30

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Zitat:

Original von TheMan
P(x) ist ja falsch laut vorherigem Post

Das war das einzige, was in der Zeile richtig formuliert war. Augenzwinkern

Ja, gesucht ist P(x). Inklusion-Exklusion scheint hier übrigens doch nicht das wahre zu sein, damit kriegst du nur eine untere Grenze für P(x) - du suchst aber eine obere! Stell erstmal ein Gleichungssystem für die Wahrscheinlichkeiten von a,b,c,d,e,f,x auf.

21.11.2005, 21:21

TheMan

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Gleichungssystem (wahrscheinlich eh falsch):

$\begin{eqnarray*} P(a) = P(A) - P(e) - P(d) - P(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(b) = P(B) - P(e) - P(f) - P(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(c) = P(C) - P(d) - P(f) - P(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(d) = P(A) - P(a) - P(e) - P(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(e) = P(A) - P(a) - P(d) - P(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(f) = P(B) - P(b) - P(e) - P(x) \end{eqnarray*}$

[ich bin mir nicht sicher, ob ich die Wahrscheinlichkeiten einfach ohne weiteres voneinander abziehen kann.]

21.11.2005, 21:32

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Die letzten drei sind obsolet, da sie nur Umformungen der ersten drei darstellen. Und P(A), P(B), P(C) kannst du direkt einsetzen. Der Kürze halber setze ich jetzt doch mal $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ synonym für $\begin{eqnarray*} P(z) \end{eqnarray*}$ , sonst schreibt man sich ja einen Wolf:

$\begin{eqnarray*} a = 0.6 - e -d - x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b = 0.65 - e - f - x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c = 0.5 -d - f - x \end{eqnarray*}$

Aber eine Gleichung fehlt noch:

$\begin{eqnarray*} 0.45 = d+e+f \end{eqnarray*}$

Und jetzt summiere mal deine drei Gleichungen, und versuche dann, $\begin{eqnarray*} d,e,f \end{eqnarray*}$ mit Hilfe der vierten Gleichung zu eliminieren.

23.11.2005, 09:28

TheMan

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$\begin{eqnarray*} a+b+c = 1,75 - 2(d+e+f) - 3x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a+b+c = 1,75 - 0,9 - 3x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a+b+c = 0,85 - 3x \end{eqnarray*}$

ich versteh langsam immer noch weniger
mir kommt es so vor, als dass ich mich immer mehr von der Lösung wegbewege.

23.11.2005, 09:54

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Irrtum, du stehst kurz vor der Lösung:

Da $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ als Wahrscheinlichkeiten auf jeden Fall nichtnegativ sind, kann man deine richtige letzte Gleichung nach unten abschätzen:

$\begin{eqnarray*} 0.85 - 3x = a+b+c \geq 0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x\leq \frac{0.85}{3} = \frac{17}{60}\approx 0.2833 \end{eqnarray*}$

Und diese zunächst mal nur obere Schranke $\begin{eqnarray*} \frac{17}{60} \end{eqnarray*}$ kann aber auch tatsächlich erreicht werden. Klar ist, dass dazu $\begin{eqnarray*} a=b=c=0 \end{eqnarray*}$ gelten muss; die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} d,e,f \end{eqnarray*}$ kannst du dann aus dem obigen Gleichungssystem bestimmen. Wenn alle diese Zahlen nichtnegativ sind UND zusätzlich die Gesamtwahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} a+b+c+d+e+f+x \end{eqnarray*}$ nicht den Wert 1 überschreitet, dann ist der Nachweis vollständig erbracht, dass eine solche Wahrscheinlichkeitsverteilung mit $\begin{eqnarray*} x = \frac{17}{60} \end{eqnarray*}$ auch tatsächlich existiert.

Klingt kompliziert, und ist es tatsächlich auch. In Wahrheit versteckt sich hinter dieser Aufgabe nämlich gemeinerweise ein schon ganz ansehnliches lineares Optimierungsproblem mit Gleichungen und Ungleichungen als Nebenbedingungen. Mit meinen Hinweisen habe ich dich nur auf eine noch relativ einfache Lösung lenken wollen. Augenzwinkern

23.11.2005, 16:20

TheMan

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o gott

ich sag erst mal vielen Dank für dein Bemühen.
Verstanden hab ich das jetzt glaub nicht alles.

Die Lösung ist jetzt also die Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit ?
D.h. mit dem IE-Prinzip hätte ich das gar nicht ausrechnen können ?

Dann muss ich gleich mal meinem Prof eins auf n Deckel geben LOL Hammer

23.11.2005, 17:02

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Wie ich oben schon schrieb:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Inklusion-Exklusion scheint hier übrigens doch nicht das wahre zu sein, damit kriegst du nur eine untere Grenze für P(x) - du suchst aber eine obere!

Die untere Grenze ist übrigens $\begin{eqnarray*} 0.15 \end{eqnarray*}$ .

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