berührende Kreise

14.04.2004, 15:29

Leopold

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berührende Kreise

Wie löst man die folgende Aufgabe?

Gegeben sind zwei Kreise, die sich von außen berühren und eine gemeinsame äußere Tangente der beiden Kreise.

Zu konstruieren ist der Mittelpunkt des Kreises, der die beiden gegebenen Kreise und die Tangente zugleich berührt.

14.04.2004, 20:06

alpha

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Ich hab mir für die Aufgabe folgendes gedacht:
Alle Kreise, die die Tangente und einen der Kreise berühren, müssen auf einer Parabel liegen (den Beweis hab ich gerade ziemlich geschlurt, wird aber nachher noch sauber gepostet). Nun konstruiert man für beide Kreise eine solche Parabel und kann daraus den Mittelpunkt des neuen Kreises genau bestimmen.

PS:
Im Anhang ein Bild, wie ich mir die Aufgabe vorstelle...

14.04.2004, 21:12

alpha

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So, hier der Beweis:
Erstmal erkläre ich mal, was wir überhaupt auf dem Bild sehen können:
Aus dem Bild soll erkenntlich werden, dass wenn wir r ,der Radius irgendeines Kreises (hier oben links), und x, die Entfernung der beiden Fusspunkte der Kreise auf der Tangente, festlegen wir ein rechwinkliges Dreieck finden (halt mit dem rechten Winkel gekennzeichnet).
Die Hypotenuse des Dreiecks (die Seite, dem rechten Winkel gegenüber) ist in diesem Fall a+r lang. Die Katheten (die anderen Seiten) a-r und x. Daher gilt nach Pythagoras:
$\begin{align*} \(a+r\)^2=\(a-r\)^2+x^2 \end{align*}$
Das lösen wir mit der binomischen Formel erstmal auf:
$\begin{align*} a^2+2ar+r^2=x^2+a^2-2ar+r^2 \|-a^2 -r^2 \end{align*}$
$\begin{align*} 2ar=x^2-2ar \|+2ar \end{align*}$
$\begin{align*} 4ar=x^2 \|:4r \end{align*}$
$\begin{align*} a=\frac{x^2}{4r} \end{align*}$
Wenn wir also den kleinen Kreis bewegen, erhalten wir eine Parabel mit der öffnung $\begin{align*} \frac{1}{4r} \end{align*}$ .

15.04.2004, 02:06

Mathespezialschüler

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Hi alpha,
is nicht schlecht, was du da gemacht hast. So hätte ich es nicht hinbekommen, auch wenn ich mich in den letzten Monaten immer intensiver mit Mathematik befasst habe und dabei bemerkt habe, dass man bei allen Aufgaben immer mathematischer denkt, d.h. mehr Gleichungen aus der Aufgabenstellung heraus oder durch Zeichnungen aufstellt, oder dadurch versucht, das mathematisch zu erklären, aber bei Konstruktionen bin ich da noch nicht so rangegangen. Da ich mich auch seit wenigen Monaten nur ein wenig mehr mit Mathematik beschäftige, denke ich, dass, je mehr ich mich damit beschäftige, auch mein mathematisches Herangehen an die Aufgaben damit immer mehr steigert, denn es hat sich in diesen Monaten schon immens gesteigert. Ich hatte ich zwar den gleichen Lösungsansatz wie du, bin aber nicht bis zum Ende auf die Lösung gekommen. Jetzt aber zu meiner Frage:

Zitat:

Alle Kreise, die die Tangente und einen der Kreise berühren, müssen auf einer Parabel liegen (den Beweis hab ich gerade ziemlich geschlurt, wird aber nachher noch sauber gepostet). Nun konstruiert man für beide Kreise eine solche Parabel und kann daraus den Mittelpunkt des neuen Kreises genau bestimmen.

Was meinst du mit "die Kreise müssen auf einer Parabel liegen"?? Meinst du die Kreisflächen, die Peripheriepunkte der Kreise, die Kreismittelpunkte, das Verhältnis der Kreisradien oder wie meinst du das? Das verstehe ich nicht. Und wie kommst du denn eigentlich auf eine solche Lösung? Also wie kommst du auf diese Idee?
Wär nett, wenn du mir das erklären könntest.
Danke.

15.04.2004, 11:02

Poff

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Die Kreismittelpunkte (Ortslinie der Kreise die einen geg. Kreis und
zugleich eine daran anliegende Tangente berühren)
sind es die auf einer Parabel liegen

und die Ortslinie aller Mittelpunkte der Kreise, die zwei sich schon
berührende gegebene Kreise unterschiedlicher Größe berühren,
liegen auf einer Hyperbel deren beide Brennpunkte die Mittelpunkte
der geg. sich berührenden Kreise sind.

Anmerkung zur Threadaufgabe.
Wie schon zu recht bemerkt, handelt es sich bei der 'Lösung'
nicht um eine Lösungskonstruktion im eigentlichen (strengen)
Sinne einer praktikablen geometrischen Konstruktion. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Allerdings dürfte es eine solche auch nicht geben
...

(das sag ich jetzt NUR, weil ich nicht weiß wie solch eine Parabel
praktisch exakt sauber konstruiert werden kann)
... aber da lass ich mich gerne eines besseren belehren
---------------------------------------------------------------------------

bevor mich nun welche auffressen wollen nur soviel:
Im geistig theoretischen Sinne ist das eine richtige exakte geo-
metrische Konstruktion, aber praktisch zeichnerisch nicht umsetzbar.

Analytisch, rechnerisch hingegen sehr wohl.

15.04.2004, 14:41

Poff

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Ausnahmsweise mal Doppelpost Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hier nochmal die beiden analytischen Lösungen:
Geg.: Kreise (M;R), (m;r), R>r, Mm=R+r und Tangente t.

Kreis 1 'innerhalb')
Ortslinie 1:
Parabel mit Brennpunkt M und Leitgeraden L=Parallele zu t im
Abstand R.

Ortslinie 2:
Parabel mit Brennpunkt m und Leitgeraden l=Parallele zu t im
Abstand r

Der Schnittpunkt der beiden Parabeln ist der gesuchte
Kreismittelpunkt von Kreis 1.

Kreis 2 'außerhalb)
Ortslinie 1:
Hyperbel mit den beiden Brennpunkten M und m und der Größe 2a
der reellen Achse mit 2a = R-r

Ortslinie 2:
Parabel mit Brennpunkt m und Leitgeraden l =Parallele zu t im
Abstand r

Der Schnittpunkt jener Hyperbel und Parabel liefert den Mittelpunkt
des gesuchten 2. möglichen Kreises.

Vernüftig umsetzbar ist beides aber nur rechnerisch analytisch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

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16.04.2004, 14:23

alpha

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So, dann belehre ich dich jetzt mal eines Besseren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich hab einmal kurz bei Google (www.google.de) nach Parabelkonstruktion gestoßen und habe herrausgefunden, dass es einen Parabelzirkel gibt, dessen Funktionsweise hier als Java-Applet dargestellt wird.
Also keine wirklich traditionelle Konstruktion mit Zirkel und Lineal, aber immerhin... Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.04.2004, 17:04

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von alpha
So, dann belehre ich dich jetzt mal eines Besseren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

...
Also keine wirklich traditionelle Konstruktion mit Zirkel und Lineal, aber immerhin... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Spitze @alpha

, aber immerhin...
das 'immerhin' kannst du dir SPAREN !!

Das ist eine geometrisch 100% exakt richtige Konstruktionsmethode,
... da hätte ich auch draufkommen sollen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das ist die technische Umsetzung der Brennpunkt-Leitgeraden
Eigenschaft der Parabel:

Die Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte, die von einem
festen Punkt F (Brennpunkt) und einer Geraden g (Leitgerade)
den gleichen Abstand haben.

und ganz genau dies setzt dieser Konstruktionszirkel um ...
und ist deswegen als eine 100% exakte geometrische Konstruktions-
Methode anzusehen ...

Sehr schön.

Wink

Wink

Eine Ellipse kann man auch mit einer Fadenkonstruktion, im exakten
geometrischen Sinne konstruieren, das wusste ich ...

Nun fehlt entsprechendes nur noch für die Hyperbel ...
Wenn ich mir das mal so grob durch den Kopf gehen lasse,
sollte es auch da was ähnliches geben.

Die Hyperbel ist der geometrische Ort aller Punkte,
deren Differenz der Entfernungen von zwei festen Punkten
F1 und F2 (Ihre Brennpunkte) den konstanten Wert '2a'
(= Größe ihrer reelen Achse) ergeben

ob die entsprechenden Methoden sehr praktikabel sind oder
nicht, ist dabei weniger von Bedeutung.
Entscheidend ist, dass im exakten geometrischen Sinne, zumindest
ein beliebiges in der Länge von Null verschiedenes Teilstück der
entsprechenden 'Figur' gezeichnet werden kann.

16.04.2004, 17:35

Leopold

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Kinder! Seid nett zueinander!
Weder übermäßige Arroganz (alpha) noch übermäßige Empfindlichkeit (Poff) sind angebracht!

16.04.2004, 17:41

Poff

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Zitat:

Original von Leopold
Kinder! Seid nett zueinander! ...

@Leopold

... ich denke du hast da was VÖLLIG missverstanden
und zwar von 'alpha' als auch von mir :-oo

Wink

Wink

16.04.2004, 17:42

Leopold

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Ok!
'tschuldigung!

16.04.2004, 17:51

alpha

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Macht doch nichts, Leopold!
Ich finde es gut, wenn hier im Forum mal einer die Leute zurechtweist, wenn sich hier jemand auslässt, aber achte einfach darauf, dass du nichts falsch verstehst...

Zitat:

, aber immerhin...
das 'immerhin' kannst du dir SPAREN !!

Es gibt glaub ich die goldene Geometrieregel, die besagt, dass man alle Zeichnungen mit Lineal und Zirkel anfertigen können muss (oder so ähnlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

PS:
Fals sich je mal jemand von mir angegriffen fühlen sollte:
Ich mein es nicht so, und versuche das durch die vielen Augenzwinkern

Augenzwinkern

s zu kennzeichnen.

PS2:
Poff, hier die Hyperbelkonstruktion, nur für dich Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.04.2004, 18:24

Leopold

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Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
Bei einer strengen Konstruktion im klassischen Sinne geht man von endlich vielen Punkten

$\begin{align*} K_0 \ =\ \{ \ P_1 \ ,\ P_2 \ ,\ ... \ ,\ P_n \ \ } \end{align*}$

aus. Mit K sei die Menge der konstruierten Punkte bezeichnet. Ganz zu Anfang ist also

$\begin{align*} K \ =\ K_0 \end{align*}$

Mit Punkten aus K darf man nur die folgenden Schritte ausführen:

1. Zeichnen einer Geraden durch zwei Punkte aus K
2. Zeichnen eines Kreises um einen Punkt aus K durch einen Punkt aus K
3. Schneiden von Geraden und Kreisen, die mit 1.,2. konstruiert wurden

Die Punktemenge K wird nun mit Hilfe der Schnittpunkte aus 3. nach und nach um weitere Punkte ergänzt.

Eine geometrische Aufgabe im klassischen Sinne mit Zirkel und Lineal lösen heißt also, mit $\begin{align*} K_0 \end{align*}$ beginnend, nach endlich vielen Schritten die Menge $\begin{align*} K \end{align*}$ zu erzeugen, die die gewünschten Punkte enthält.

So - das war's jetzt ganz formal!

Konstruktionen, die man auf Parabeln, Hyperbeln usw. aufbaut, sind in diesem Sinne keine klassischen Konstruktionen.

Die meisten Konstruktionen, die man in der Mittelstufe des Gymnasiums durchführt, sind entweder klassisch oder auf klassische Konstruktionen zurückführbar. Wenn man etwa eine Senkrechte mit Hilfe des Geo-Dreiecks (Hilfslinien auf dem Geodreieck) zeichnet, so ist das zunächst keine klassische Konstruktion. Aber jeder weiß, wie man das allein mit Hilfe eines Zirkels und Lineals machen könnte. Allein "aus Faulheit" führt man dies nicht jedes Mal so durch. In einem etwas lascheren Sinne sind also auch solche Konstruktionen klassisch.

16.04.2004, 21:39

Poff

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RE: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
Dass sich fortlaufende Teile veränderlich 'krummer Figuren'
NICHT mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen können, sollte
kaum verwundern. Einzelne Punkte davon sehr wohl, so auch bei
Parabel und Hyperbel.

Nur damit lassen sich nötige Schnittpunkte nicht erzeugen,
da hierzu fortlaufende Teile von Nöten sind, wie sie bei
der 'Geraden' und dem Kreis gegeben sind. (unendlich viele Punkte)

Das mit dem ganz strengen klassichen Sinne ist natürlich reine
Definitionssache. Der Zirkel ist auch NUR ein Instrument der
die theoretische Vorgabe eben auch NUR theoretisch perfekt
ausüben kann, praktisch hingegen nicht und steht somit
einer 'Fadenkonstruktion' nicht so sehr viel vorraus, nur die durch
'ihn allein' erreichbare Wertemenge ist halt eine ganz andere.

Ich finde eine geometrische Konstruktion ist dann als eine exakte
anzuerkennen, falls die eingesetzen Instrumente von der Theorie
her, genau das leisten können was sie dazu leisten sollen.

Wie gut oder schlecht sie das im praktischen Sinne dann tatsächlich
umsetzen können ist unbedeutend.
Zirkel und Lineal können das genausowenig perfekt umsetzen,
sondern eben auch NUR im theoretischen Sinne.

Dass man anderes nicht (gerne) hinzunehmen will, liegt mehr an
der sich dadurch verändernden Wertemenge und der unerwünsch-
ten Handhabung derer, so sehe ich das.
...

hier hängt noch was rum von DER kl.Sorte, das gelöst werden will:
http://matheboard.de/thread.php?threadid=1475&sid=

28.12.2005, 22:15

Poff

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RE: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
Leopold hat ihn 'aufgewühlt', noch ne 'richtige' Lösung offensteht ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.12.2005, 23:52

Leopold

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Dieser Strang stammt ja noch ganz aus meiner Anfangszeit. Da kannte ich mich im MatheBoard noch nicht so gut aus. Ich hätte das wohl eher unter Rätsel stellen sollen. Die Lösung ist im folgenden Satz enthalten.

Drei Kreise mögen sich in den Punkten $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ berühren. Es seien $\begin{eqnarray*} r_a, r_b, r_c \end{eqnarray*}$ die Radien der Kreise durch $\begin{eqnarray*} B,C \end{eqnarray*}$ bzw. durch $\begin{eqnarray*} A,C \end{eqnarray*}$ bzw. durch $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ . Ferner sei $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ der Umkreisradius des Dreiecks $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ .
Dann gibt es einen Kreis, der jeden der drei Kreise von außen berührt. Für seinen Radius $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{s} = \frac{2}{r} + \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} \end{eqnarray*}$

Falls $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ einen stumpfen Winkel hat, so ist $\begin{eqnarray*} r_a \end{eqnarray*}$ in dieser Formel negativ zu rechnen. Analoges gilt natürlich für einen stumpfen Winkel bei $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ . Die Formel gilt auch dann noch, wenn einer der Kreise zu einer Geraden entartet. Der Radius wird dann als $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ festgelegt, und man hat $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\infty} = 0 \end{eqnarray*}$ zu setzen.

Die eingangs gestellte Aufgabe ist ein Spezialfall hiervon. Wenn $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ die Berührpunkte der Tangente mit den Kreisen sind und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ der Berührpunkt der beiden Kreise ist, so ist $\begin{eqnarray*} r_c = \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r = \frac{1}{2} c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ als Länge der Seite $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ , so daß nach der Formel gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{s} = \frac{4}{c} + \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ einer rationalen Beziehung in $\begin{eqnarray*} c, r_a, r_b \end{eqnarray*}$ genügt, kann man $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ aus diesen drei Größen mit einer Strahlensatzkonstruktion bekommen. Der gesuchte Kreis kann dann leicht konstruiert werden.

29.12.2005, 01:08

Poff

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... oder so zB

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