inverse Matrix

21.11.2005, 20:14

Milkaschokolade

inverse Matrix

Hallo,

ich schreibe morgen LK-Klausur und bin gerade völlig am Verzweifeln.......

Wieviele Verfahren gibt es um eine inverse Matrix zu berechnen?

Zum Determinantenverfahren:

Nehmen wir an, dass hier:

a d g
b e h
c f i

ist die inverse Matrix. Wenn man jetzt b berechnen will, muss man Db/D rechnen. Wie ich an D komme ist klar. Um Db zu bekommen muss ich glaub ich die 1. Spalte der Einheitsmatrix in die 2. Spalte der Determinate einsetzen. Dann habe ich aber an der Position d die 1 stehen (bei e 0 und bei f auch).
Wieso kann ich so die inverse Matrix berechnen?

Mein Verstand sagt mir, dass an der Position b die 1 stehen muss, wenn ich b berechnen will, also dass ich, um Db zu kriegen ich die 2. Spalte der Einheitsmatrix in die 1. Spalte der Determinante einsetzen müsste.....

Versteht mich irgendwer und kann mir erklären warum es nicht so ist???

21.11.2005, 20:29

Poff

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RE: inverse Matrix
Wieso, kann ich wie die Inverse Matrix berechnen ?

Bleibt dir überlassen wie du das berechnest, Augenzwinkern

letztlich läufts auf
die Lösung des Gleichnungssystems

A * X = 1

hinaus und wie das aussieht das erklärt die Multiplikationsvorschrift
von Matrizen. Das Bestimmen der Inversen einer größeren Matrix
ist kein rechenarmes Unterfangen. Ich denke schon bei 5x5 würden
dir sicherlich die Zähne anfangen zu klappern wenn du das zu
berechnen hättest . Augenzwinkern

21.11.2005, 20:38

Milkaschokolade

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Mmmhh....

Mir klappern schon die Zähne bei einer 2x2 Matrix... weil ich einfach nicht verstehe WARUM.......... (s.o.)

21.11.2005, 21:18

Poff

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Du hast die Matrix A und sollst die Inverse bestimmen ...
(d.h. du musst in A*X=1 , X bestimmen)

$\begin{eqnarray*} A=\left [\begin {array}{cc} a&b\\\noalign{\medskip}c&d\end {array}\right ] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X=\left [\begin {array}{cc} {\it x1}&{\it x2}\\\noalign{\medskip}{\it x3}&{\it x4}\end {array}\right ] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A*X=\left [\begin {array}{cc} a{\it x1}+b{\it x3}&a{\it x2}+b{\it x4}\\\noalign{\medskip}c{\it x1}+d{\it x3}&c{\it x2}+d{\it x4}\end{array}\right ]=\left [\begin {array}{cc} 1&0\\\noalign{\medskip}0&1\end {array}\right ] \end{eqnarray*}$

dh du musst lösen (Elementevergleich)
(4 Gleichungen 4 Unbekannte x1,x2,x3,x4)

$\begin{eqnarray*} a{\it x1}+b{\it x3}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a{\it x2}+b{\it x4}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c{\it x1}+d{\it x3}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c{\it x2}+d{\it x4}=1 \end{eqnarray*}$

das ist ALLES

Nach dem gleichen Prinzip gehts auch bei größeren Matrizen

jetzt nimmst mal die und rechnest die Inverse nach dem geschilderten
Zusammenhang aus. So bekommst auch ein besseres Gefühl dafür,
warum das, was du soo ausrechnest die Inverse ist.
(Anhand der Matrizenmultiplikation überprüfst dein Ergebnis)

$\begin{eqnarray*} A=\left [\begin {array}{cc} 1&2\\\noalign{\medskip}3&4\end {array}\right ] \end{eqnarray*}$

21.11.2005, 22:09

Milkaschokolade

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SUPER, danke

leider ist mein lehrer zu blöd es einfach zu erklären.....

nein, wir müssen das natürlich mit gaus und determinanten machen.... danke, jetzt weiß ich , das man es nicht so machen muss....

gute n8 Mit Zunge

21.11.2005, 22:11

JochenX

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liegt vermutlich daran, dass es bei größeren matrizen mit gauß auch viel einfacher zu handhaben ist als so.
auch das adjunktenverfahren wird für große matrizen unschön (das eignet sich dafür für 2x2-matrizen sehr!)

schau doch erst mal in den entsprechenden workshop im algebrabereich, da ist alles erläutert!

mfg jochen

verschoben

21.11.2005, 22:12

mercany

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Verschoben

edit: da war der jochen wieder schneller.... smile

22.11.2005, 01:24

Poff

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Loed, letztendlich läuft jedes Verfahren darauf hinaus dieses
Gleichungssytem zu lösen, wie auch immer. Nur die Methodik ist
verschieden und das Gausverfahren taucht ja auch sonst beim
Lösen von linearen Gleichungssystemen auf.

Das 'Determinantenverfahren' hat einen methodischen Vorteil,
bietet es doch die Möglichkeit, die Lösung allgemein formal zu
formulieren. Bei der praktischen Umsetzung jedoch, tauchen dann
versteckt die sonstigen Lösungselemente wieder auf. Das kann auch
nicht wirklich wundern, denn die eindeutige Lösung hat eine
bestimmte Form und die kann auf welchem Weg auch immer
letztendlich nur gleich aussehen, auch in der allgemeinen Form.

22.11.2005, 09:04

brunsi

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Mit dem "Determinantenverfahren" meint ihr den ENtwickungssatz von LAPLACE??? verwirrt

Also das mit den Minoren etc.???

22.11.2005, 14:40

mercany

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Zitat:

Original von brunsi
Mit dem "Determinantenverfahren" meint ihr den ENtwickungssatz von LAPLACE??? verwirrt

Also das mit den Minoren etc.???

Jo!

Im Grunde läuft das ja alles immer auf Laplace heraus.

22.11.2005, 15:42

JochenX

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"invertieren über die adjunkte" könnt ihr im workshop matrizen nachlesen (ist inzwischen auch einigermaßen korrekt)

@poff: hast ja recht Augenzwinkern

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