Keine kleinste positive reelle Zahl

25.04.2008, 18:08	Egon	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine kleinste positive reelle Zahl Hi! Ich versuche mich gerade am Beweis dafür, dass es keine kleinste positive reelle Zahl gibt. Dazu habe ich folgende Überlegungen angestellt: Sei $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ , dann gibt es mit Sicherheit ein $\begin{eqnarray} \frac1n<\epsilon \end{eqnarray}$ , da es aufgrund der Unbeschränktheit von $\begin{eqnarray} \mathbb{N} \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} n>\epsilon \end{eqnarray}$ geben muss. Nun gilt entweder $\begin{eqnarray} \epsilon>\frac1\epsilon \end{eqnarray}$ ; in diesem Fall ist klar: $\begin{eqnarray} \frac1n<\frac1\epsilon<\epsilon \end{eqnarray}$ und somit ist $\begin{eqnarray} x=\frac1n \end{eqnarray}$ kleiner als die gewählte Zahl. Oder es gilt $\begin{eqnarray} \epsilon<\frac1\epsilon \end{eqnarray}$ . In diesem Fall finde ich ein $\begin{eqnarray} n>\frac1\epsilon \end{eqnarray}$ , sodass entsprechend gilt $\begin{eqnarray} \frac1n<\epsilon \end{eqnarray}$ . Und dadurch habe ich dann wieder $\begin{eqnarray} \frac1n<\epsilon<\frac1\epsilon \end{eqnarray}$ und wieder eine Zahl gefunden, die kleiner als die gewählte ist. Ist das so korrekt/vollständig? Danke
25.04.2008, 18:12	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Also deinen Argumentationsweg finde ich sehr verwirrend. Du machst dir viel zu viel Arbeit, nach dem ersten Schritt hast du es doch schon fast: Angenommen, $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ sei die kleinste positive reelle Zahl. Dann gibt es ein $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n>\frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}<\varepsilon \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ auch eine positive reelle Zahl ist, bist du dann fertig.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »