Intervallschachtelung

22.11.2005, 10:11

MacRyan

Intervallschachtelung

Hallo,

Es seinen $\begin{eqnarray*} 0<b<a \end{eqnarray*}$ und die Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n)_n\in \mathbb N , (b_n)_n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} a_0 = a, b_0 = b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_n+1 = \frac{a_n+b_n}{s} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_n+1 =\sqrt{a_n b_n}. \end{eqnarray*}$
Zeige: $\begin{eqnarray*} [b_n, a_n] \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ bildet eine Intervallschachtelung.

Was ist da zu machen? Reicht es, wenn ich die monotonie der beiden Folgen zeige, oder muss ich noch mehr machen?

MfG
MacRyan

22.11.2005, 10:34

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MacRyan
$\begin{eqnarray*} a_n+1 = \frac{a_n+b_n}{s} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_n+1 =\sqrt{a_n b_n}. \end{eqnarray*}$

Was soll denn $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ sein? Sicher meinst du

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_{n+1} =\sqrt{a_n b_n} \end{eqnarray*}$ .

Zur Sache: Die Monotonie $\begin{eqnarray*} b_n<b_{n+1} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} a_n>a_{n+1} \end{eqnarray*}$ reicht nicht. Du musst außerdem noch $\begin{eqnarray*} b_n<a_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} (a_n-b_n) = 0 \end{eqnarray*}$ zeigen.

22.11.2005, 10:55

MacRyan

Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, anstatt s musste da 2 stehen.

Dann ist das ja doch mehr arbeit als ich dachte. Naja, dann werd ich mich mal dransetzen.

MfG
MacRyan

Neue Frage »

Antworten »

Intervallschachtelung

Verwandte Themen