Extremwerte an nicht differenzierbaren Stellen |
| 25.04.2008, 21:22 | Sabina | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Extremwerte an nicht differenzierbaren Stellen im Unterricht behandeln wir gerade Extrem- und Wendepunkte. Beim nochmaligen Durcharbeiten bin ich auf folgenden Satz gestoßen, was wir jedoch nicht im Unterricht besprochen hatten: Der Graph einer Funktion f kann auch an Stellen relative Extrema haben, an denen die Funktion nicht differenzierbar ist. Das habe ich nun versucht anhand eines Beispiels zu untersuchen. Nehmen wir mal das Beispiel von . Die Funktion müsste dann an den Stellen 2 und -2, also den Nullstellen, wo sie auch nicht differenzierbar ist, jeweils ein Minimum haben, oder? Wie kann ich denn nun rechnerisch beweisen, dass (sollte ich mich nicht irren) tatsächlich Extrema vorliegen, wo die Funktion doch nicht differenzierbar ist? Meine Ansätze dazu waren: f'(x)=2x für x > 2 und x < -2; -2x für -2 < x < 2 Was aber nur dazu führt, zu zeigen, dass die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar ist. Auch die 2. Ableitung hilft nicht weiter: (Intervall s.o.) Wie gehe ich hier also vor? |
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| 25.04.2008, 21:43 | NatürlicheZahl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwerte an nicht differenzierbaren Stellen
Diese Funktion hat aber an der Stelle x=0 ein Minimum. Das notwendige Kriterum für Extrema lautet doch: f'(x)=0 und das hinreichende f'(x)=0 und f''(x) <> 0. 
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| 25.04.2008, 21:46 | Sabina | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm, dass an der Stelle x = 0 ein Maximum vorliegt, ist mir auch klar, meine Frage bezog sich darauf, ob an den nicht differenzierbaren Stellen 2 und -2 auch Minima vorliegen und wie ich das rechnerisch nachweisen kann
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| 25.04.2008, 21:52 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du könntest z.B. zeigen, dass die Funktion links von -2 monoton fällt und rechts davon monoton steigt. Dann folgt (aus der Stetigkeit), dass bei -2 ein Minimum vorliegt. |
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| 25.04.2008, 22:20 | Sabina | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm, ok, das ist vielleicht eine Idee, auch wenn ich auf eine "elegantere" Lösung gehofft hatte. Ich werde vielleicht noch ein bisschen darüber nachdenken 
Danke! |
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| 25.04.2008, 22:48 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich finde das elegant genug. Ansonsten kannst du auch zeigen, dass die Funktion in einer kleinen Umgebung von -2 stets positiv ist. Wegen f(-2) = 0 folgt wiederum, dass bei -2 ein Minimum vorliegen muss. |
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