Reihe von an konvergiert, lim an/bn = 1, konvergiert dann Reihe von bn?

22.11.2005, 14:22

Gaylord Focker

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Reihe von an konvergiert, lim an/bn = 1, konvergiert dann Reihe von bn?

Hallo Leute Wink

Wink

Der Threadtitel sagt schon einiges. Ich sitze an einem Problem fest und es ist nicht einfach zu lösen. Bitte um Ansatz für Aufgabe 4

http://www.iam.uni-bonn.de/~kassmann/blatt5.pdf

Da ist zwar schon ein Hinweis auf dem Blatt, nur hilft der mir nicht wirklich weiter.

Ich hoffe auf eure Hilfe

Gruß

22.11.2005, 14:43

AD

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Ein Hinweis zum Hinweis auf dem Blatt: Betrachte mal $\begin{eqnarray*} b_k=a_k+\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

22.11.2005, 15:15

Martha Focker

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Danke für die Hilfe

15.04.2012, 13:43

matheler

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Wir haben grade eine änhliche aufgabe. Aber ich komme nicht darauf, warum jetzt lim n->oo ak/(ak+1/k) = 1 sein sollte und warum die gewählte folge genau passt

15.04.2012, 17:05

Totto-GE

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Für eine konvergente Folge $\begin{eqnarray*} (a_k)_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ muss
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac{a_k}{a_k + \frac{1}{k}} = 1 \end{eqnarray*}$ nicht gelten.

Sei also $\begin{eqnarray*} c = \lim_{k \to \infty} a_k \end{eqnarray*}$

(a) Falls $\begin{eqnarray*} c \not= 0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt die obige Aussage ...

$\begin{eqnarray*} \frac{a_k}{a_k + \frac{1}{k}} = \frac{1}{1 + a_k \cdot \frac{1}{k}} \xrightarrow{ a_k \to c~,~ \frac{1}{k} \to 0} {\frac{1}{1 + c \cdot 0}} = 1 \end{eqnarray*}$

gem. übl. Grenzwertsätzen

(b) Falls $\begin{eqnarray*} c = 0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt die obige Aussage NICHT ...

Hierzu wähle $\begin{eqnarray*} a_k = \frac{\varepsilon}{k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varepsilon \in \mathbb R \setminus \{-1\} \end{eqnarray*}$ beliebig.
Dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{a_k}{a_k + \frac{1}{k}} = \tiny\text{const.} = \frac{\varepsilon}{1 + \varepsilon} \in \mathbb R \setminus \{+1\} \end{eqnarray*}$

15.04.2012, 17:11

Totto-GE

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Korrektur: von (a)
$\begin{eqnarray*} \frac{a_k}{a_k + \frac{1}{k}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{a_k}\cdot \frac{1}{k}} \xrightarrow{ a_k \to c~,~ \frac{1}{k} \to 0} {\frac{1}{1 + \frac{1}{c} \cdot 0}} = 1 \end{eqnarray*}$

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15.04.2012, 17:12

HAL 9000

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@matheler

Der Hinweis $\begin{eqnarray*} b_k=a_k+\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ oben bezog sich offenbar nur auf die im PDF-File angegebene Folge $\begin{eqnarray*} a_k = \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$ . Und hier ist dann

$\begin{eqnarray*} \frac{a_k}{a_k+\frac{1}{k}} = \frac{\frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}}{\frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}+\frac{1}{k}}= \frac{1}{1+\frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}} \to 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ .

Also erstmal alles lesen, bevor du voreilige Schlüsse ziehst. Dass es allgemein für die Glieder einer konvergenten Reihe nicht gilt, ist eigentlich klar, und von Totto-GE dann auch noch mal ausführlichst begründet worden.

EDIT: Beim nochmaligen Nachlesen muss die Schelte wohl eher an Totto-GE gehen, der auch noch eine andere Rechnung offen hat. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.04.2012, 19:25

matheler

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Leider komme ich immer noch nicht auf die zündende Idee warum daraus folgt, dass bn konvergiert. Es muss ja in den Beweis mit eingehen das lim n->oo an/bn = 1 ist. Tipps?

16.04.2012, 19:30

Matheler

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Also die Reihe mit bn.

Hat dies was mit Leibnitz zu tun, da eine konvergente Reihe -> lim an =

16.04.2012, 19:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von matheler
Leider komme ich immer noch nicht auf die zündende Idee warum daraus folgt, dass bn konvergiert.

$\begin{eqnarray*} a_n= \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ ist eine Nullfolge, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ auch. Also ist $\begin{eqnarray*} b_n = a_n+\frac{1}{n} = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ auch eine Nullfolge, und damit konvergent - das sollte doch nun kein Problem sein.

Oder redest du von der Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} b_n \end{eqnarray*}$ ? Die besteht nicht, diese Reihe ist divergent - das ist ja gerade der Witz an diesem Gegenbeispiel!

16.04.2012, 20:43

Matheler

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Sorry nein meine frage bezog sich auf exakt die Aufgabe 4 des pdfs. Ich verstehe nicht wie ich in dem Beweis einbringen kann: lim an/ bn = 1. Um daraus schlusszufolgern dass die reihe um bn konvergiert. Das einzige was ich herausgefunden habe ist das lim an = 0 ist

16.04.2012, 20:47

HAL 9000

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Du hörst nicht zu: Man kann es eben NICHT beweisen, wie das Gegenbeispiel zeigt. Forum Kloppe

Forum Kloppe

16.04.2012, 20:52

Matheler

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Ah bei uns gilt zusätzlich, dass an > 0 und bn > 0 und dass lim an/ bn = lim bn/ an = 1. Die Aufgabe lässt nicht ermüden, dass es nicht fnktioniert.

Sorry nochmal vielmals und vielen dank

16.04.2012, 20:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von Matheler
Ah bei uns gilt zusätzlich, dass an > 0 und bn > 0

Das ist dann eine andere Aufgabe, zu der es auch schon einen viel passenderen Thread in letzter Zeit hier im Board gibt - wohl auch von dir, wie ich vermute. Also hast du deine Zeit (und meine) hier verschwendet. unglücklich

unglücklich

16.04.2012, 20:59

Matheler

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Ich möchte keine vollständige Lösung sondern nur einen Tipp, dass ich nicht ständig im Kreis Läufe wie die letzten 4 Stunden

16.04.2012, 21:01

HAL 9000

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Ich habe von diesem Thread geredet:

Konvergenz Quotient => konvergenz beider folgen

17.04.2012, 07:01

barracuda317

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Zu seiner Verteidigung möchte ich kurz anbringen, dass er diesen Thread nicht eröffnet hat, aber wohl im selben Studiengang wie ich ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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