Erwartungswert und Varianz |
| 22.11.2005, 15:10 | bunny2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erwartungswert und Varianz
Also ich bräucht dringenst nen kleinen Tipp, wie ich an folgende Aufgaben rangehen soll... Ich kann zwar die Zufallsvariablen aufstellen, komm aber dann nicht mehr weiter: Aufg. 1: Ein Autovertreter verdient an jedem verkauftem Auto 500 Euro, außerdem ist sein Grundgehalt 1500 Euro im Monat. X sei die Anzahl der pro Monat verkauften Autos. Geben die einen monatlichen Gesamtverdienst Y des Verkäufers in Abhängigkeit von X an und drücken sie E(Y) und Var(Y) durch E(X) bzw. Var(X) aus. Häää? Also ich hab mal das übernommen: X: Anzahl der verkauften Autos im Monat Y: Gesamtverdienst = 1500 Euro + X * 500 Euro Aber jetzt komm ich nicht mehr weiter... Ich hab ja keine Wahrscheinlichkeit gegeben, wie der sein Auto verkauft.... Und so ganz sicher bin ich mir auch nicht, ob man das Gehalt Y so berechnen kann, weil ja auch keine Autoanzahl gegeben ist.... 
DANKE bunny2 |
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| 22.11.2005, 15:17 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist der zentrale, von dir richtig erkannte Zusammenhang zwischen X und Y, und Hurra: Der Zusammenhang ist linear. Damit lassen sich alle von dir genannten Fragestellungen beantworten, ohne dass du über die Verteilung von X genauer Bescheid wissen musst. Schau dir nochmal wichtige Eigenschaften beim Rechnen mit Erwartungswerten und Varianzen an, dann siehst du es auch. |
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| 22.11.2005, 15:22 | bunny2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke ArthurDent! Also dann wär das einfach: E(Y)=500E(X) Var(Y)=500^2 * Var(X) War das alles? |
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| 22.11.2005, 15:24 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das mit der Varianz stimmt, beim Erwartungswert hast du aber den konstanten Summanden 1500 Euro vergessen!!! Ich schätze mal, der Autoverkäufer will diese Summe nicht missen. 
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| 22.11.2005, 15:40 | bunny2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach ja stimmt, hab das glatt vergessen, also ist die Lösung: E(Y)=500E(X)+1500 Var(Y)=500^2 * Var(X) Dann hätt ich noch eine Frage, die ich glaub ich, nicht ganz so einfach ist (wenn man bei Stochastik überhaupt von einfach sprechen kann): Beim unabhängigen Werfen zweier Laplace-Würfel sei X die kleinste, Y die größte der Augenzahlen. Stellen sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitstafel auf und leiten sie daraus die beiden Randverteilungen ab. Also bei der Wahrscheinlichkeitstafel hab ich ja schon mal ein Problem, wenn ich oben quasi X nimm und nach unten Y dann ist ja alles, was über den Paschs liegen null und somit muss ja auch P(Y=1, X=1)=0 sein, weil es da ja keine größere und kleinere Zahl gibt... ICh glaub ich versteh die Aufgabe nicht so ganz... Ausserdem: Was ist denn ne Randverteilung? |
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| 22.11.2005, 15:44 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei Paschs ist der doppelte gewürfelte Wert sowohl Minimum als auch Maximum - so würde ich das verstehen! Die Randverteilungen eines zweidimensionalen Vektors sind einfach die Verteilungen seiner Komponenten. Hier im diskreten Fall (X,Y) wären das einfach die Werte P(X=j) und P(Y=k), im Unterschied zur gemeinsamen Verteilung P(X=j,Y=k). |
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| 22.11.2005, 16:54 | bunny2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also das was ich am Rand dann zusammenaddier? Ich hoff, ihc kann das einigermaßen darstellen, denn ich glaub nicht so ganz, dass das stimmt: Y\X....|...1...|...2...|...3...|...4...|...5...|...6...|...P(Y=y) .....1...|.1/36.|..0...|...0...|...0...|...0...|...0...|...1/36 .....2...|.2/36.|1/36|...0...|...0...|...0...|...0...|...3/36 .....3...|.2/36.|2/36|.1/36|...0...|...0...|...0...|...5/36 .....4...|.2/36.|2/36|2/36.|1/36.|...0...|...0...|...7/36 .....5...|.2/36.|2/36|2/36.|2/36.|1/36.|...0...|...9/36 .....6...|.2/36.|2/36|2/36.|2/36.|2/36.|1/36..|..11/36 P(X=x)|11/36|9/36|7/36|5/36|3/36|1/36|...........1 Ich hoff, das kann man jetzt einigermaßen lesen.... Stimmt das so? Also die WArhscheinlichkeiten hab ich jetzt einfach mal so ausprobiert, bis sie halt am Ende 1 ergaben, deswegen bin ich mir auch so unsicher... Und dann hätt ich gleich noch ne Frage: Wie kann ich beweisen, dass X und Y unabhängig sind? Ich weiß, dass man das mit der Formel P(A geschnitten B)=P(A)*P(B) machen muss, aber wo krieg ich P(A geschnitten B) her? Muss ich das dann für alle möglichen Varianten machen? Oder reicht das für eins? Ich bedanke mich schon mal im Vorraus für die Hilfe, ich weiß ich bin in Stochastik die absolute Niete.... 
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| 22.11.2005, 17:00 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das sehe ich anders: Das Tableau und die zugehörigen Randverteilungen von X und Y sind vollkommen korrekt. 
Zur Unabhängigkeit: Bei solchen diskreten Zufallsvektoren wie hier ist das gleichbedeutend mit für alle in Frage kommenden Werte . Einfacher ist meist der Fall, wenn sie nicht unabhängig sind: Dann genügt ein Paar mit . |
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| 22.11.2005, 18:20 | bunny2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also heißt das dann, dass ich das für jeden Wert ausrechnen muss? Sorry, hab das nicht so ganz verstanden... Die Tabelle ist richtig *jubel* Noch ne Frage, die noch vor der andren ist: Begründen sie anschaulich, warum X und Y nicht unabhängig sind und bestätigen sie dies durch Rechnung.... Also zweites geht ja dann mit der formel... aber was ist in dem fall konkret P(X geschnitten Y)? |
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| 22.11.2005, 19:01 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab ich gerade mit unsichtbarer Tinte geschrieben? Ich glaube nicht, trotzdem wiederhole ich nochmal:
Und nochwas zur Formulierung: Es gibt kein für reellwertige Zufallsgrößen - wie soll man denn den Durchschnitt reeller Zahlen bilden? Durchschnitte beziehen sich auf Ereignisse, hier in dem Fall auf zu Zufallszahlen gehörende Ereignisse wie z.B. oder Unabhängigkeit heißt dann Innerhalb der Wahrscheinlichkeitsklammern lässt man dann auch häufig die []-Klammern um die Ereignisse weg und schreibt kurz Schließlich und endlich wird das logische UND in Wahrscheinlichkeiten auch häufig einfach durch ein Komma ersetzt, dann wird daraus das obige . |
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| 22.11.2005, 19:12 | bunny2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt hab ichs verstanden!!! DANKE 
Kannst du mir auch noch die Frage bitte beantworten, weil berechnen kann ichs jetzt, das hab ich auch verstanden, aber wie ich das anschaulich erklären soll, weiß ich echt nicht.... Und ich hätt noch ne klitzekleine Frage: Bestimmen sie , da muss ich ja einfach nur zusammenaddieren, oder? Also aus der Tabelle abgelesen: (1+2+1+2+2+1+2+2+2)/36=15/36 Stimmt das? Sorry, ich bin mir echt unsicher.... |
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| 22.11.2005, 19:22 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, ist richtig! Begründung: Du musst ja über alle Paare summieren, wo zugleich und gilt, und das sind nun mal die Wahrscheinlichkeiten aus dem von dir genannten Teilrechteck der Tabelle. |
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| 22.11.2005, 19:26 | bunny2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Cool, danke, du hast mir echt sehr geholfen!!!! THX!!! |
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