Häufungspunkte |
| 22.11.2005, 19:53 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Häufungspunkte Kann mir bitte bitte jemand erklären was genau Häufungspunkte sind. Ich muss folgende Aufgabe lösen: Geben Sie eine Folge mit genau drei reellen Häufungspunkten sowie den Limes inferior dieser Folge an. Auch wenn das noch nicht ganz sitze glaube ich, dass ich das wenigstens mit dem Limes inferior verstanden habe. Es handelt sich doch hier einfach nur um den unteren Grenzwert,oder? Wenn ich z.B. die Folge: (1,0,2,0,3,0,4...) habe dann ist mein Limes inferios doch = 0 und mein Limes superior + . Ich weiß, dass das ein einfaches Bsp. ist, aber man muss ja klein anfangen *g*. Nun gut, ich versteh einfach nicht wo dieser Häufungspunkt liegt und jegliche Definitionen im Netz, Heuser(vorallem weil da steht, dass man dringend zwischen Punkten und Werten unterscheiden muss???) etc. lassen es einfach nicht bei mir klingeln. Somit kann ich auch die Aufgabe nicht lösen. HILFE!!! |
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| 22.11.2005, 20:13 | sdauth | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hallo! Ganz 'unmathematisch' gesprochen sind Häufungswerte die Grenzwerte von Teilfolgen einer Folge. Limes Inferior ist der kleinste, Limes superior der größte Häufungswert. also betrachte zB die Folge: {1, 1/2, 1, 1/3, 1, 1/4, 1, 1/5, 1, 1/6...} diese Folge hat zwei Häufungswerte: 1 und 0 also ist 0 limes inferior und 1 limes superior |
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| 22.11.2005, 20:28 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Danke. O.k. dann hat sich das mit den Häufungswerten ja quasi schon geklärt. Häufungswerte sind also Limes Inferior und Limes Superior. Gehe ich richtig in der Annahme, dass es dann höchsten 2Häufungswerte gibt, ich kann ja schließlich nur einen kleinsten und einen größten haben, oder? Mhm, und wie funktioniert das jetzt mit den Häufungspunkten? Ich soll mir ja eine Folge mit genau 3Häufungspunkten suchen. Sorry, aber ich bin immer noch tierisch verwirrt. Vorallem weil ich den Teil Supremum,Infimum Grenzwert etc. nicht mit den jetzigen Fragen bzw. Definitionen in Verbingung bringen kann. Bei mir ist grad alles das Selbe... 
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| 22.11.2005, 20:37 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
nein, lim inf und lim sup sind häufungswerte, es kann aber noch viel mehr geben, bzw. muss auch gar keinen geben..... bzw. im konvergenzfall sind sie gleich......
eine folge kann unendlich viele häufungswerte haben!
häufungswert/punkt, alles das gleiche (haut mich, wenn's falsch ist)
dann konstruiere sie dir analog zu (zum beispiel) "{1, 1/2, 1, 1/3, 1, 1/4, 1, 1/5, 1, 1/6...}" da ist halt die teilfolge der geraden zahlen konvergent gegen..., die teilfolge der ungeraden zahlen konvergent gegen...... mach deine teilfolgen halt jeweils jedes dritte glied..... |
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| 22.11.2005, 21:33 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Oh, ich bin einwenig überrascht. Ich habe sogar nochmal nachgelesen, da uns die Unterscheidung zwischen Häufungspunkt und Wert nahegelegt wurde. Und nun ist es doch das gleiche. Nun gut ich glaub euch das, so ist es auch einfacher für mich. Trotzdem hab ich das noch nicht richtig verstanden. Wenn ich mir nun die Folge: { 2, 1, 1/2, 2, 1, 1/3, 2, 1, 1/4, 2, 1, 1/5...} wähle. Hab ich dann die drei Häufungswerte: 2, 1 und 0? Und dann entsprechend Limes inferior= 0 und Limes superior=2? Auch wenn ich gleich erschlagen werde, wenn Limes Inferior der kleinste, Limes superior der größte Häufungswert ist, dann versteh ich immer noch nicht warum es unendlich viele geben kann. Ich kann doch nur einen kleinsten und einen größten Häufungspunkt in meiner Folge haben und eben viele dazwischen, wie hier z.B. die 1. Leider immernoch
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| 22.11.2005, 22:15 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
die rationalen zahlen sind gleichmächtig wie die natürlichen zahlen insbesondere kann man auch die rationalen zahlen des intervalls [0,1] bijektiv auf IN anordnen also: [0,1]={q1,q2,q3,.....} [alle rationalen zahlen aus dem intervall] jeder wert dieser folge ist häufungspunkt (!) edit: auch hier natürlich lim sup=1, lim inf=0 |
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| 23.11.2005, 06:49 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
O.k., hast mich überzeugt *g*. Kann ich denn jetzt mein Beispiel so stehen lassen, oder wolltest du mir damit sagen das mein Limes superior auch hier = 1 ist? MfG |
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| 23.11.2005, 11:10 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
dein beispiel passt; noch einfacher ist natürlich {0,1,2,0,1,2,0,1,2,.....}, aber das ist ja egal oder du bastelst dir zum spaß eine extra schwere folge wie du willst |
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| 24.11.2005, 14:46 | Gast123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Und wie würde man die Folge schreiben? Mir fällt so auf Anhieb keine Schreibweise ein und man kann ja nicht einfach: x_n={0,1,2,0,1,2,0,1,2,...} schreiben... |
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| 24.11.2005, 15:11 | lego | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
man würde schreiben: |
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| 24.11.2005, 17:04 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
warum eigentlich nicht? |
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