Rechnen mit komplexen Zahlen

22.11.2005, 21:44

Tutti Frutti

Rechnen mit komplexen Zahlen

Hallo.
Ich weiß überhaupt nicht was ich mit dieser Aufgabe machen soll:
Berechnen Sie alle dritten Wurzeln von z:= 1+i.

Ich versteh schon die Aufgabenstellung nicht, was heißt denn alle dritten Wurzeln. Ganz ehrlich ich hab nix dazu in der Vorlesung gefunden, klar haben wir komplexe Zahlen gehabt, aber nicht so.
In Wikipedia bin ich leider auch nicht schlau geworden...

22.11.2005, 21:46

20_Cent

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hattet ihr schon die polarschreibweise?
mfG 20

22.11.2005, 22:09

Tutti Frutti

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Nein, das letzte in der Vorlesung war der Anfang der trigonomischen Darstellung. Ich hab so was von keinen Plan wie ich das lösen soll.
traurig

22.11.2005, 22:17

20_Cent

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mmh... ohne die polarschreibweise kann ich dir nicht helfen.
mfG 20

22.11.2005, 22:25

MrPSI

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wieviel hattet ihr denn im punkto trigonometrischer Schreibweise durchgemacht?

22.11.2005, 22:35

Olympus10000

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Hi!

Mir ist die Polarkoordinatendartsellung bekannt. Allerdings habe ich spontan keine Idee, wie man das sinvoll lösen kann? Wieso gibt es mehrere 3. Wurzeln? verwirrt

22.11.2005, 23:07

JochenX

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alle lösungen der gleichung x^n=a gelten als n-te wurzel aus a
die gruppe der n-ten einheitswurzel ist übrigens isomorph zu Z/nZ

aber das nur nebenher;
wenn du betrag und winkel (argument heißts), egal in welcher form gegeben hast, machst du folgendes:
ziehe die n-te wurzel aus dem betrag, gibt je den betrag der wurzeln
finde eine wurzel (also das argument), alle anderen findest du, indem du 360°/n weitergehst

23.11.2005, 08:37

Olympus10000

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Danke für die Hilfe. Werde es mal probieren!

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Also: Der Betrag von z $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

Der Winkel $\begin{eqnarray*} \gamma = 45 \end{eqnarray*}$

Die n-te Wurzel vom Betrag von z $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$

-----------------------------------------------------------------------------

Falsche Tqaste gedrückt:

Die n-te Wurzel vom Betrag von z= 2^{1/2n}

Wie muss ich denn nun weiter machen?

25.11.2005, 20:20

Gast*

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Halli Hallo!!!
Ich habe diese Aufgabe auch gerechnet,
nur leider stimmt das nicht mit den Ergebnissen von den anderen überein. Mir würde es sehr helfen wenn jemand weiß wie viele Ergebnisse es gibt, also n-te Wurzeln.
3 oder mehr?

MfG

25.11.2005, 20:25

Mathespezialschüler

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Es gibt genau n n-te Wurzeln, also auch drei dritte Wurzeln. Nicht mehr und nicht weniger.

Gruß MSS

25.11.2005, 20:26

JochenX

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es gibt n n-te wurzeln, wie ich oben schon beschrieben habe

@olympus: sorry thread war untergegangen
ich habs ja schon erwähnt: bestimme das argument EINER der wurzeln, die anderen ergeben sich, indem du zu dem argument vielfache von 360°/n dazuaddierst

27.11.2005, 08:15

system-agent

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hilft dir diese, zugegebenermaßen hässliche formel weiter?
$\begin{eqnarray*} z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}}\cdot [cos(\frac{\phi+2k\pi}{n})+i\cdot sin(\frac{\phi+2k\pi}{n})] \end{eqnarray*}$

hierbei ist $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ das argument deiner komplexen zahl z und für k=0 bekommst du den hauptwert deiner wurzel und für k=1 bzw. für k=2 deine zwei weiteren wurzelwerte

gruß, system-agent

27.11.2005, 16:33

Sonya

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Ich hab mal eine Frage, heißt jetzt eigenlich dritte Wurzel aus $\begin{eqnarray*} \sqrt {1+i} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{1+i} \end{eqnarray*}$ ? Dann kann man doch sagen, dass es eine komplexe Zahl w gibt, sodass gilt: $\begin{eqnarray*} w^3=z \end{eqnarray*}$ , das dann in die trigonometrische Form umschreiben und ziemlich leicht auflösen. Oder liegt ich da ganz falsch?

27.11.2005, 17:36

JochenX

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Zitat:

Original von Sonya
Dann kann man doch sagen, dass es eine komplexe Zahl w gibt, sodass gilt: $\begin{eqnarray*} w^3=z \end{eqnarray*}$

das hat nix damit zu tun, wie man das schreibt, dieser zahlen w gibt es sogar 3 stück

die dritte wurzel aus (1+i) ist aber wie oben gesagt keine eindeutige zahl, sondern eine menge von 3 komplexen zahlen

27.11.2005, 18:01

cst

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Vielleicht geht's ja auch ohne "e hoch i phi" und trigonometrische Funktionen. Sei w die 3. Wurzel aus 1+i mit w=a+ib:
$\begin{eqnarray*} (1+i)^{1/3}=a+ib \\ 1+i=(a+ib)^3\\ \end{eqnarray*}$

a und b sind also gesucht. Wenn man die rechte Seite ausmultipliziert und schön sortiert, kommt man auf

$\begin{eqnarray*} (1+i) =a^3 - 3a^2b~+i (3a^2b - ab^3)\ \end{eqnarray*}$

Real- und Imaginärteil müssen einzeln übereinstimmen. Das führt dann auf ein ugegebenermaßen häßliches Gleichungssystem. Immerhin kommt man ohne Stoff von der nächsten Vorlesung aus.

27.11.2005, 18:24

Sheli

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Ich hab das jetzt versucht zu lösen und habs so gemacht:
$\begin{eqnarray*} z^3=r^3(cos\alpha+isin\alpha)^3 = r^3(cos(3 \alpha)+isin(3 \alpha)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r^3=|i+1|= \sqrt2 \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \sqrt2(cos(3 \alpha)+isin(3 \alpha)) = 1+i \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} cos(3 \alpha)+isin(3 \alpha)= \frac{1}{\sqrt2}+i \frac{1}{\sqrt2} \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} cos(3 \alpha) = \frac{1}{\sqrt2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sin(3 \alpha) = \frac{1}{\sqrt2} \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} 3 \alpha = \frac{\pi}{4}+ 2k \pi \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} \pi= \frac{\pi}{12}+ k \frac{2\pi}{3} \end{eqnarray*}$

Und damit hat man die drei Lösungen:
$\begin{eqnarray*} \alpha_1= \frac{\pi}{12}, \alpha_2= \frac{\pi}{12}+ \frac{2\pi}{3}, \alpha_3= \frac{\pi}{12}+ \frac{4\pi}{3} \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} z_k = cos\alpha_k + isin \alpha_k \end{eqnarray*}$ für k=1,2,3

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