Beschränktheit einer Folge mit vollständiger Induktion

22.11.2005, 21:59

L.i.t.t.l.e.

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Beschränktheit einer Folge mit vollständiger Induktion

Hi,

ich komm hier grad bei einer Aufgabe nicht weiter. Hier ist sie:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{a_{n-1}²+ 1}{2*a_{n-1}} \end{eqnarray*}$

Vermutung: S=2 s=1

Induktionsanfang (I)
$\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\leq 2\leq 2 \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt (II)
$\begin{eqnarray*} n=n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\leq a_{n}\leq 2 \end{eqnarray*}$

Schluss
$\begin{eqnarray*} n=n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\leq a_{n+1}\leq 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\leq \frac{a_{n}²+ 1}{2*a_{n}} \leq 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 a_{n} \leq a_{n}²+1 \leq 4 a_{n} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand sagen, wie es jetzt weitergeht? Weiß grad nicht wie ich weiter kürzen soll...

THX

22.11.2005, 22:13

AD

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Kann es sein, dass du in Wahrheit $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{a_{n-1}^2+1}{2a_{n-1}} \end{eqnarray*}$ meinst? Dann editiere mal deinen Beitrag (Index wird mit _{} geschrieben), dass ist ja unerträglich da oben.

22.11.2005, 22:39

L.i.t.t.l.e.

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Augenzwinkern

Bitte schön, mein lieber Arthur!

22.11.2005, 23:40

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} 2a_n\leq a_n^2+1 \end{eqnarray*}$ ist trivial.

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}\leq 2 \end{eqnarray*}$ bedeutet $\begin{eqnarray*} \frac{a_n^2+1}{2a_n}\leq 2\Leftrightarrow \frac{a_n}{2}+\frac{1}{2a_n}\leq 2 \end{eqnarray*}$ . Da kannst du deine Induktionsvoraussetzung anwenden.

Gruß MSS

23.11.2005, 10:46

AD

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Schon besser, mein lieber L.i.t.t.l.e.

Wäre natürlich noch schön gewesen, wenn du auch noch $\begin{eqnarray*} a_1=2 \end{eqnarray*}$ genannt hättest, sowie dass du mit $\begin{eqnarray*} s=1 \end{eqnarray*}$ eine untere und mit $\begin{eqnarray*} S=2 \end{eqnarray*}$ eine obere Schranke der Folge meinst, d.h., dass du $\begin{eqnarray*} s\leq a_n\leq S \end{eqnarray*}$ beweisen willst. So muss man diese Informationen erst aus deinen Ausführungen extrahieren...

Aber wir wollen für den Anfang mal nicht zuviel verlangen, nicht wahr? smile

smile

23.11.2005, 19:31

L.i.t.t.l.e.

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Naja, da bin ich wohl etwas knapp mit den Angaben umgegangen. Aber mit dem Titel und etwas Kreativität hat ihr's ja doch rausgefunden, nicht?

Noch einmal zu der Aufgabe mit der Induktion.
Ich nehme also die Aussage des Induktionsschritts, dass an größer gleich 1 und kleiner gleich 2 ist und beweise damit (durch einsetzen sozusagen) den Induktionsschluss.

Und wo wir gerade so schön dabei sind, kann mir jemand vielleicht sagen wo bei dieser Aufgabe der Fehler ist?
Ich soll den Grenzwert dieser Funktion mit Hilfe von Folgen bestimmen.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{2x-19}{\sqrt{x²+19} } = \frac{(2x-19)²}{(\sqrt{x²+19})² } = \frac{4x²-76x+361}{x²+19} = \frac{4-\frac{76}{x} -\frac{361}{x²} }{1+\frac{19}{x²} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x) = 4 \end{eqnarray*}$

Hab ich da irgendwo falsch gekürzt? Die Folge strebt nämlich gegen 2 und nicht gegen 4...

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23.11.2005, 19:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von L.i.t.t.l.e.
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{2x-19}{\sqrt{x²+19} } = \frac{(2x-19)²}{(\sqrt{x²+19})² } \end{eqnarray*}$

Das ist ja grauslich. Seit wann kann man einfach quadrieren und es ändert sich nichts?

23.11.2005, 19:45

L.i.t.t.l.e.

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Das ist doch bloß zur Grenzwertbestimmung mithilfe von Urbildfolgen.

23.11.2005, 19:48

klarsoweit

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Joo. Und am Ende wunderst du dich, daß du das Quadrat des richtigen Grenzwerts rausbekommst? Nee, nee. unglücklich

unglücklich

23.11.2005, 19:52

L.i.t.t.l.e.

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Gut, da ist was dran. Aber man kann's ja mal versuchen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie kann ich die Funktion denn dann umformen, um den Grenzwert rauszubekommen?
Oder kann man auf diese Weise auch Grenzwerte bestimmen und dann die Wurzel vom Grenzwert ziehen?

23.11.2005, 20:10

sqrt(2)

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Was hindert dich daran, gleich $\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x^2}} \end{eqnarray*}$ auszuklammern?

23.11.2005, 20:41

L.i.t.t.l.e.

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Zum Beispiel, dass ich nicht weiß wie's geht... Hilfe

Hilfe

23.11.2005, 21:02

sqrt(2)

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Doch, klar weißt du das. Oben konntest du ja auch $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{x^2} \end{eqnarray*}$ ausklammern.

23.11.2005, 21:43

L.i.t.t.l.e.

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Aso, stimmt, hatte da was miteinander verwechselt...

Jetzt hab ich's.

$\begin{eqnarray*} \frac{2x-19}{\sqrt{x²+19} } =\frac{x*(2 -\frac{19}{x} )}{\sqrt{x²} *\sqrt{\frac{x²+19}{x²}} } =\frac{2-\frac{19}{x} }{\sqrt{\frac{1+\frac{19}{x²} }{1} } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{2-\frac{19}{x} }{\sqrt{\frac{1+\frac{19}{x²} }{1} } } =2 \end{eqnarray*}$

Wäre es mathematisch auch korrekt die Funktion zu erst zu quadrieren und dann vom Grenzwert die Wurzel zu ziehen? Eigentlich doch schon, oder nicht?

23.11.2005, 21:47

sqrt(2)

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Nein, denn beim Quadrieren verlierst du ein negatives Vorzeichen, falls der Grenzwert negativ ist.

23.11.2005, 21:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von L.i.t.t.l.e.
Wäre es mathematisch auch korrekt die Funktion zu erst zu quadrieren und dann vom Grenzwert die Wurzel zu ziehen? Eigentlich doch schon, oder nicht?

Ja, wenn man weiß, daß die Funktion immer positiv ist.

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